La constante de Euler-Mascheroni, $\gamma=0,5772156649...\ldots$

La constante de Euler-Mascheroni, que se suele denotar por $\gamma$ -no se debe confundir con el número irracional $e=2,71828182845904523536\ldots$ (la base de los logaritmos naturales o neperianos)-, se define como $$\gamma:=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{1}{i}-\ln\,(n)$$ y se sabe que su valor es $0,5772156649...\ldots$ (véase esta otra entrada en mi blog), donde el sumatorio expresa la suma de los $n$ primeros términos de la serie armónica. Al parecer, no se sabe aún si se trata de un número algebraico o bien de un número trascendente; tampoco se sabe si se trata de un número racional.

$\diamond$

Acerca de la constante de Euler-Mascheroni

Hace un par de días, leí un artículo de Wikipedia acerca de la misteriosa constante de Euler-Mascheroni (véase [1]) que me sorprendió, pues desconocía su existencia —a la fecha, se desconoce si es un número trascendente o algebraico, y tampoco se sabe si es racional o irracional—, que relaciona la serie armónica y el logaritmo natural, además de con una integral impropia de primera especie en cuyo integrando aparece la función piso: $$\displaystyle \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty}\,\sum_{k=1}^{n}\,\left(\dfrac{1}{k}-\ln(n)\right)=\int_{1}^{\infty}\,\left( \dfrac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor} - \dfrac{1}{x}\right)\,dx = -\int_{0}^{\infty}\,\dfrac{\ln(x)}{e^x}\,dx \approx 0,\,57721\,56649\,01532\,\ldots$$ Esta constante nos la podemos encontrar en el cálculo de algunas integrales impropias en las que intervenga la función piso. Aparece conectada con muchas objetos matemáticos, como es el caso de la función Gamma, la función zeta de Riemann, la transformada de Laplace del logaritmo natural, entre otros muchos y diversos. Ciertamente, sorprendente y muy interesante. $\diamond$

-oOo-

Lecturas recomendadas para profundizar un poco:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
  [2] https://www.gaussianos.com/la-constante-de-euler-mascheroni/