Un caso particular de matrices triangulares

El buen manejo de las propiedades de los determinantes facilita la resolución de muchos problemas, que, en un primer vistazo, parencen complicados. Ved, por ejemplo, el siguiente:

Sean $A_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & 1 & &&\\ & 0 & 1 && \\ && \ddots & \ddots && \\& && 0 & 1 \\ & && & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal superior, siendo nulos el resto de los elementos) y $B_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & & &&\\ 1 & 0 & && \\ & 1 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal inferior, siendo nulos el resto de los elmentos)

Demuéstrese que los determinantes $\text{det}(AB)$ y $\text{det}(BA)$ son ambos nulos.

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Recordemos la siguiente propiedad de los determinantes: $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)=\text{det}(B)\cdot \text{det}(A)=\text{det}(BA)$ . Sabemos que el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta triangular superior o bien triangular inferior, es igual al producto de los elementos de su diagonal principal; entonces, como $A$ es una matriz triangular superior, y $B$ es una matriz triangular inferior, ambas con ceros en la diagonal principal, se tiene que $\text{det}(A)=0$ y $\text{det}(B)=0$; por consiguiente, y teniendo en cuenta la propiedad referida acerca del determinante del producto de matrices, concluimos que $\text{det}(AB)=0\cdot 0=0$ y $\text{det}(BA)=0\cdot 0=0$. $\diamond$

Cálculo rápido del determinante de una matriz cuadrada $A$, dada ésta factorizada como $A=LU$

Es sabido que dadas dos matrices cuadradas y del mismo orden, $A$ y $B$, se tiene que $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$; por tanto, si una matriz $M$ viene ya expresada como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior (factorización $M=LU$) —ya se trate de la factorización de Crout o bien de la de Doolittle—, el cálculo del determinante de $M$ es muy rápido.

Teniendo en cuenta que el determinante de una matriz cuadrada triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal, entonces el cálculo del determinante de $\text{det}(M)=\text{det}(L)\cdot \text{det}(U)$ requiere únicamente $n-1$ multiplicaciones (el producto de los elementos de la diagonal principal del factor que no tenga unos en la misma), ya que la otra matriz factor tiene determinante igual a $1$, habida cuenta de que los elementos de su diagonal principal son todos ellos unos.

Ejemplo con una matriz $M=LU$ (factorizada por el m. de Doolittle: matriz $L$ con unos en la diagonal principal)

Con $2$ multiplicaciones podemos calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden $3$, siempre que conozcamos la factorización $LU$ de la misma. Hago los cálculos de comprobación con GNU Octave:

% Sea la matriz   
   A=[1,-1,2;1,2,2;1,1,-1]
A =

   1  -1   2
   1   2   2
   1   1  -1

>> [L,U]=lu(A)
L =

   1.0000        0        0
   1.0000   1.0000        0
   1.0000   0.6667   1.0000

U =

   1  -1   2
   0   3   0
   0   0  -3


% det(L)=1 (no hace falta hacer ningún cálculo, pues
% de antemano conocemos este resultado, puesto que
% L es una matriz diagonal con unos en la diagonal
% principal, y, por tanto, su determinante es igual a 1)

% A continuación vemos las dos multiplicaciones que 
% he comentado arriba:
% det(U)=1·3·(-3)=(1\cdot 3)\cdot (-3)=-9

% En efecto, por el algoritmo por defecto:
>> det(U)
ans = -9

% Así pues det(L)·det(U)=1·(-9)=-9
% en efecto, por el algoritmo por defecto:
>> det(L)*det(U)
ans = -9

% y nótese que, por el algoritmo por defecto,
>> det(A)
ans = -9

  

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Referencias

[1] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 1), Sanz y Torres, Madrid, 2011
[2] F. García; A. Nevot, Análisis numérico, Paraninfo, Madrid, 1992
[3] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf