Consideremos una curva $\mathcal{C}$ en $\mathbb{R}^3$ en la que expresamos la posición de los puntos de la misma en función de un parámetro natural como es la longitud de arco $s$ -en física, el parámetro natural suele ser el tiempo-; $\vec{r(s)}=x(s)\,\hat{i}+y(s)\,\hat{j}+z(s)\,\hat{k}$ apunta pues a un punto genérico de la curva. Vamos a ver cómo expresar la curvatura y la torsión en un punto dado de dicha curva.
Manejaremos para ello las derivadas vectoriales $\dfrac{d\vec{r(s)}}{ds}=:\vec{\sigma}$ (vector tangente a la curva en el punto dado) y $\dfrac{d(\vec{\sigma(s)})}{ds}=\dfrac{d^2(\vec{r(s))}}{ds^2}$, y la necesidad de ello se verá enseguida.
Es claro que el vector $\dfrac{d(\vec{\sigma(s)})}{ds} \perp \vec{\sigma(s)}$ (vector tangente a la curva en el punto a considerar), por lo que esta segunda derivada de $\vec{r(s)}$, la entendemos como un vector proporcional al vector unitario normal a la curva en el punto dado, $\vec{n}$, y por tanto podemos escribir, $$\dfrac{d\vec{\sigma(s)}}{ds}=\mathcal{K(s)}\,\vec{n}$$ siendo por tanto $\mathcal{K(s)}=\left\|\dfrac{d\vec{\sigma(s)}}{ds}\right\|=\left\|\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}\right\| \quad (1)$
Es evidente que el ángulo formado entre los vectores de posición de dos puntos próximos $P$ y $P'$, $\Delta\,\varphi:=\measuredangle(\vec{r(s)}\,,\,\vec{r(s+\Delta\,s)})$ tiene que ver con lo que acabamos de escribir, y entenderemos por tanto como curvatura de la curva en el punto $P$ a la cantidad $$\displaystyle \mathcal{K}(s):=\lim_{\Delta\,s}\,\left| \dfrac{\Delta\,\varphi}{ds} \right|$$ y definimos el radio de curvatura como $$R(s):=\dfrac{1}{\mathcal{K}(s)}=\dfrac{1}{\left\|\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}\right\|}$$
Pues bien, de acuerdo con $(1)$, $$\mathcal{K}(s)=\sqrt{\left(\dfrac{d^2(x(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(y(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(z(s)) }{ds^2}\right)^2}$$ y por tanto
$$R(s)=\dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{d^2(x(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(y(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(z(s)) }{ds^2}\right)^2}}$$
Nota:
En muchos cálculos suele aparecer también el cuadrado de la curvatura y el cuadrado del radio de curvatura,
$$(\mathcal{K(s)})^2=\dfrac{1}{(R(s))^2}=\left(\dfrac{d^2(x(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(y(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(z(s)) }{ds^2}\right)^2$$
y $$ (R(s))^2=\dfrac{1}{\left(\dfrac{d^2(x(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(y(s)) }{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2(z(s)) }{ds^2}\right)^2}$$
Ya se ha comentado que en física, el parámetro usual es el tiempo, por lo que a menudo nos vemos en la necesidad de calcular la curvatura y el radio de curvatura a partir de la expresión de la curva en función del parámetro $t$ en lugar de $s$. Para ello, tengamos en cuenta que $$\dfrac{d\vec{r(s)}}{ds}=\dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}\cdot \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}}$$ Por consiguiente, $$\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}=\dfrac{d}{ds}\,\left(\dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}\right)\cdot \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}}+\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}} \right) \cdot \dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}$$ luego $$\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}=\dfrac{d}{ds}\,\left(\dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}\right)\cdot \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}}+(-1)\,\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^3}\cdot \dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}$$ esto es $$\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\,\left(\dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}\right)}{\dfrac{ds}{dt}} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}}+(-1)\,\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^3}\cdot \dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}$$ con lo cual $$\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}=\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{dt^2}\cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2}+(-1)\,\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^3}\cdot \dfrac{d\vec{r(s)}}{dt}$$
Recordemos que $\vec{r(t)}=(x(t),y(t),y(t))$, por tanto $\dfrac{d\vec{r(t)}}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$ y $\dfrac{d^2\vec{r(t)}}{dt^2}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))$ con lo cual podemos escribir el resultado de la forma, $$\dfrac{d^2\vec{r(s)}}{ds^2}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))\cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2}+(-1)\,\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^3}\cdot (\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$$
De todo ello se acaba de deducir que $\mathcal{K}(t)=\dfrac{1}{R(t)}=\dfrac{\left\| \dfrac{d\vec{r}}{dt}\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt}\right\|}{\left( \left\| \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right\|\right)^3}$ o si se prefiere utilizar la notación punto para la derivada vectorial, por comodidad: $\mathcal{K}(t)=\dfrac{1}{R(t)}=\dfrac{\left\| \dot{\vec{r}}(t) \times \ddot{\vec{r}}(t) \right\|}{\left( \left\| \dot{\vec{r}}(t) \right\| \right)^3}$
En particular, para curvas planas (en el plano $Oxy$) se tiene que $$\mathcal{K}=\dfrac{1}{R}=\dfrac{\left( (\dot{x})^2+(\dot{y})^2 \right)^\frac{3}{2}}{|\dot{x}\,\ddot{y}-\dot{y}\,\ddot{x}|}$$ y en el caso de que la curva venga expresada en forma explícita, $y=f(x)$, es fácil ver que $$\mathcal{K}=\dfrac{1}{R}=\dfrac{\left( 1+\left(\dfrac{f(x)}{dx}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\left|\dfrac{d^2\,f(x)}{dx^2}\right|}$$ Nota: Recordemos que $\mathcal{K}$ se denomina curvatura y $R(t)$ radio de curvatura
$\diamond$
