Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares, $a_n=2n+1\; (n=0,1,2,\ldots)$, es un cuadrado perfecto
Primero, hago unas cuantas comprobaciones de tal afirmación: $$S_1=1=1^2$$ $$S_2=1+3=4=2^2$$ $$S_3=1+3+5=9=3^2$$ $$S_4=1+3+5+7=16=4^2$$ $$\ldots$$ $$S_n=1+3+5+7+\ldots+(2n+1)=n^2$$ Eso parece suceder: la suma de los primeros $n$ números impares consecutivos es el cuadrado de un número natural; sin embargo, pretendo probar la proposición. Desde luego, no basta con comprobaciones de este tipo y con escribir lo que se infiere de ellas. Podría probarse mediante el método de inducción, pero, alternativamente, voy recurrir a la naturaleza de progresión aritmética de dicha serie, y, así, esa prueba va a ser muy sencilla. Empezaré escribiendo la suma de un número genérico de términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Reconociendo que ésta es la suma de $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$ y primer término igual a $1$, como es bien conocido, dicha suma es igual a $$S_n=\dfrac{a_0+a_{n}}{2}\cdot n$$ y teniendo en cuenta que $a_{n}=a_0+d\cdot (n-1)=1+2\cdot (n-1)=2n-1$, se concluye que $$S_{n}=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$
A modo de verificación, con la suma de los $6$ primeros números naturales impares consecutivos, $1+3+5+7+9+11$, que, desde luego, haciendo las sumas sucesivas es igual a $36$; y, según la proposición que se ha demostrado, en efecto, así es, habiendo $6$ términos dicha suma es igual $6^2=36$. Podemos pues afirmar así, que, sin necesidad de hacer sumas sucesivas, la suma de los $1\,000$ primeros números impares consecutivos es igual a $1000^2=(10^3)^2=10^6$
