La paralaje. Un método de medida indirecta de la distancia a objetos lejanos

La paralaje es un método astronómico básico empleado desde la antigüedad para medir distancias entre astros/planetas. Y, por supuesto, también se puede utilizar en navegación, en la mar o en tierra, para hacer cálculos de medidas indirectas de objetos a partir de una distancia conocida y ángulos que podemos tomar con el sextante o bien con el compás de demoras, siempre y cuando, claro está, que el objeto observado esté lo suficientemente alejado del observador para que la aproximación del lado por la longitud de arco sea aceptable. El método de paralaje se basa en conceptos sencillos de geometría y proporcionalidad. Si queréis documentaros un poco más sobre la paralaje, os sugiero una lectura en este artículo de Wikipedia: [ http://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje ] Como aplicación práctica en navegación, si podemos medir ángulos (con compás de demoras) y disponemos, como dato, de alguna distancia conocida de partida, en principio también podemos medir la velocidad del observador en movimiento rectilíneo - de forma indirecta - ya que, conociendo el ritmo de variación del ángulo de paralaje en un corto intervalo de tiempo y teniendo información sobre el rumbo, solo queda por hacer un simple cálculo de proporcionalidad. Seria interesante comparar los resultados con los de la lectura de un radar, por ejemplo. Aunque, sin duda, obtengamos algo un poco tosco, sin mucha precisión, me parece interesante.

Observant l'horitzó. Càlcul aproximat de la distància entre dos observadors situats en dos punts propers a la superfície de la Terra

Maria passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i Maria ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd. Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa R+a cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a que és igual a Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó s Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a 3670 km, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp": Entrant a en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és la Maria (situada a la platja, dreta) i el segon observador l'imaginarem posat a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició de la Maria). Fem-ho: Distància entre el veler i la Maria: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó de la Maria i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba la Maria): Sumant les distàncies a l'hortizó respectives trobem que la distància aproximada entre el veler i la Maria és igual a i aproximant a una xifra decimal: Referències: ROJO, A. &nbsp La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010 JOUETTE, A. &nbsp El secreto de los números. Robinbook, 2000

Apunt històric sobre la determinació de la latitud de l'observador per observació del pas del Sol pel meridià de l'observador

Durant els segles XIV i XV ja se sabia determinar la latitud per l'observació del pas del Sol pel meridià del lloc ja que, segons aquest autor, els navegants ja disposaven de taules de navegació amb la informació suficient per fer aquesta determinació. Recordem que $\ell=d \pm (90-a)$, on $\ell$ és la latitud; $d$, la declinació del Sol, i $a$ l'altura vertadera del Sol en el moment de l'observació.

Un fil envoltant un meridià ...

Sobre la mesura històrica de l'arc de meridià Dunkerke-Barcelona

Estic llegint la història de la tasca que va realitzar Méchain per mesurar el tram de meridià de Paris a Barcelona entre finals de segle XVIII i començaments del s. XIX (Laborde es va fer càrrec de la mesura del tram de Dunkerke a Paris) fent ús del famós cercle de Borda, l'instrument de mesura més precís que es coneixia i que servia tant per fer mesures de triangulació geodèsica com per mesurar l'altura dels astres i determinar les coordenades geogràfiques de l'observador, molt més precís que un sextant. Com és ben sabut, aquests treballs van permetre l'establiment del metre patró. Als seus escrits esmenta tant a Salvà com a Martí i Franquès. És just fer homenatge d'aquestes persones que, sense cap mena de dubte, tingueren papers tan decisius en el desenvolupament de la ciència com d'altres molt més coneguts (Lavoisier,Laplace, Lagrange ...). Tots dos, Salvà i Martí i Franquès, el primer a Barcelona i el segon a Tarragona, van ajudar a Méchain i Tronchet (i al seu equip) durant la seva estada a Catalunya en unes circumstàncies de preguerra que feien molt perillosa la seva tasca. Certament, eren tots grans científics moguts per l'esperit de la il·lustració. Abans que es duguessin a terme les famoses mesures del meridià Dunkerke-Barcelona fent ús intensiu del mètode de les triangulacions geodèsiques (resolució d'un triangle a partir de les mesures de dos angles i un costat) realitzant nombroses mesures angulars preses amb el "cercle de Borda" (dit també "cercle repetidor", inventat pel matemàtic, astrònom i navegant Jean-Charles Borda, 1733-1799) - l'instrument de mesura més precís que fins aquell moment s'havia construït - en els punts propers, per cada costat, als del meridià, tot pujant als cims dels Pirineus, als turons més alts, i a les torres i campanars més elevats de les planures. Com és sabut, aquesta formidable empresa la dugueren a terme científics com Pierre Méchain, Jean Delambre, François Arago, Jean Biot, Jean-Charles Borda ... just en el període de temps que comença amb la revolució francesa i s'esten fins el final de les guerres napoleòniques; aquestes mesures geodèsiques van permetre l'establiment del metre patró. Dos instruments que van suposar notables avenços en les mesures geodèsiques i astronòmiques van ser el cercle de reflexió (Tobias Mayer, 1752) i el cercle repetidor (Etienne Lenoir, 1784). Aquest instrument (cercle de reflexíó-cercle repetidor) va ser perfeccionat notablement més tard per Jean-Charles chevalier de Borda (1733-1799) - matemàtic, enginyer, físic, navegant, astrònom, i polític - el qual col·laborà amb els astrònoms Méchain i Delambre en les campanyes de mesura de l'arc de meridià Dunkerke-Barcelona que van permetre establir el metre patró. L'instrument de Borda va passar a ser conegut amb el nom de cercle repetidor de Borda. Figura: El precís cercle de Borda es va poder fer servir per mesurar el meridià Perpinyà-Paris-Dunkerke (crèdits: Wikipedia) Abans, però, Jacques Cassini ja havia fet algunes mesures en el meridià de Paris (~ 1713) les quals també van servir per preparar altres expedicions geodèsiques, com ara la dirigida per Charles-Marie de la Condamine (1735), juntament amb Louis Godin i Pierre Bouguer: expedició francesa promoguda per l'Académie des Sciences i el rei Louis XIV de França, en la qual també van participar com a comissionats del rei d'Espanya el topògraf Pedro Maldonado i dos joves oficials de marina: Antonio de Ulloa y de la Torre-Giralt (1716-1795), i el Jorge Juan y Santacilia (1713-1773) que començaven una fulgurant carrera com a navegants i científics. L'objectiu de l'expedició de la Condamine consistia a mesurar la longitud d'un grau de meridià prop de l'Equador de la Terra - concretament, els treballs es van centrar a Quito (en aquell temps, virregnat del Perú) - per tal que, comparant aquest resultat amb la mesura d'un grau de meridià en latitud boreals - per més detall, a Lapònia, a càrrec d'una altra expedició dirigida pel físic suec Anders Celsius i el matemàtic Pierre Maupertuis -, es pogués resoldre la disputa científica entre el model d'el·lipsoide terrestre aplanat pels pols que havia proposat Isacc Newton i el model d'el·lipsoide amb més estretor a l'equador de la Terra, posició defensada per Jacques Cassini -. El resultat demostrà que l'el·lipsoide terrestre està aplanat pels pols.

meridiana

Preparació de l'observació A partir de la situació estimada, disposats a observar el Sol al seu pas pel meridià del lloc, ens cal conèixer l'hora del rellotge de bitàcola a la qual tindrà lloc l'esdeveniment. Per això, entrarem a l'Almanac de l'any i consultem a quina hora passa el Sol pel meridià de Greenwich (hora en aquest meridià); això ve resenyant a l'Almanac amb les sigles PMG ("pas pel meridià de Greenwich"). Tindrem ben present que aquest hora és l'hora civil del meridià de Greenwich en el moment del pas del Sol pel meridià superior de Greenwich. 1. Comencem, doncs, calculant l'HcG (TU) del pas del Sol pel nostre meridià (meridià de l'observador) a partir del PMG: HcG p.s.m.s.l = PMG + L/15; on L/15 es la longitud de la posició de l'observador expressada en temps. 2. Tot seguit, ens cal calcular l'hora legal o hora del rellotge de bitàcola Hz de l'observador en el moment del pas del Sol pel seu meridià. Per això, ens cal conèixer el número de fus horari Z, el qual calculem a partir de la longitud estimada Z és igual al major enter més proper a la quantitat (L-7.5)/15 amb el signe que correspongui (positiu si ens trobem a l'Est del meridià de Greenwich, i negatiu en cas contrari). Hz p.s.m.s.l = HcG p.s.m.s.l + Z Coneguda aquest hora, ens podem preparar amb temps suficient per estar a punt per fer les mesures d'observació del Sol en el moment de la seva culminació al seu pas pel meridià del lloc. Determinació de la latitud del lloc Per determinar la latitud, en aquest cas, ens estem referint a l'observació del Sol, però notem que el procediment de càlcul és el mateix que cal fer servir a l'hora d'observar el pas pel meridià del lloc de qualsevol astre. En general, podrem observar l'astre passant pel meridià superior (angle horari local de l'astre igual a zero), o bé, passant pel meridià inferior (angle horari local de l'astre igual a 180º). En punts d'observació de latituds no molt elevades, el Sol sempre culmina passant pel meridià superior (angle horari de Sol igual a zero). Segons l'època de l'any, al seu pas pel meridià del lloc de l'observador, el Sol pot demorar al Nord o bé al Sud; és a dir, podem observar el Sol en la seva culminació cara al Nord, o bé cara al Sud. Tot això queda ben clar si ens entretenim a traçar un esquema gràfic on aparegui l'Equador celest, l'horitzó de l'observador, el Sol/astre i el Zenit. Fent la suma d'angles amb la figura al davant quedarà clar que la latitud l ha de ser igual a d + z si el Sol demora al Sud (l=d+z), i a d -z (l=d-z) si aquest demora al Nord (l=d-z), on z és igual a 90º-a (a és l'altura del Sol en la seva culminació mesurada amb el sextant). No cal dir que la declinació d del Sol la treuerem de l'Almanac, entrant amb l'hora i la data. Determinació de la longitud Podem determinar la longitud del lloc d'observació prenent una sèrie mesures simètriques de l'altura amb l'hora TU (hora al meridià de Greenwich) corresponent a cada una. El temps el prenem amb el cronòmetre. Un simple rellotge digital farà el fet; això sí, cal que estigui ben ajustat a l'hora TU que podem consultar a internet abans de sortir de casa. Per això cal estar preparats el temps que calgui abans que el Sol passi pel meridià del lloc. Abans que culmini, haurem mesurat almenys dues altures amb els corresponents temps TU: (a1,HTU1) i (a2,HTU2) que anirem apuntant a la llibreta. El Sol culminarà i efectuarem la mesura de l'altura i el temps en la culminació (ac,HTUc). I, tot seguit, en començar aquest a descendre - atenció que ho fa molt de pressa ! - esperarem a que atenyi l'altura a2 per mesurar el temps simètric corresponent HTU'2. Farem el mateix quan atenyi l'altura a1, prenent nota del temps simètric HTU'1. Fet això, haurem acabat la feina de mesura. A continuació baixarem a la taula de derrota i, còmodament, farem els càlculs. Com que el Sol ha seguit un camí prou simètric en l'ascens i el posterior descens, obtindrem l'hora de culminació calculant la semisuma de cada parell de temps simètrics (corresponents a una mateixa altura), farem una mitjana aritmètica de tots dos i el resultat no ha de ser molt diferent de l'obtingut en la mesura central HTUc. A més, si aquesta, l'haguéssim perdut o bé no fos prou fiable, sempre en tindrem dues que s'hi aproparan. Si tots tres temps són força semblants, ens quedarem amb la mitjana aritmètica de tots tres: l'HTU del pas del Sol pel meridià superior del lloc. Hem de tenir en compte, però, que si el vaixell es troba en navegació - tal i com és d'esperar en una situació normal -, i atès el ràpid moviment del Sol al seu pas per la meridiana, que aquesta manera de determinar la longitud dóna una precisió molt per sota de la que tenim quan ens situem intersectant dues rectes d'altura. No obstant això, ja que observem el Sol al pas per la meridiana per determinar la latitud, per què no aprofitar les mesures per obtenir també la longitud, encara que no tingui molta precisió ... Bé, doncs, ja hem acabat. Amb l'HTU del p/S m.s.l entrem a les taules de l'Almanac i consultem l'angle horari del Sol en Greenwich (hG) a partir de l'hora i la data, corregint per minuts i segons a les taules de correccions. Aquest angle hG del Sol es correspon directament amb la nostra longitud si ens trobem a l'Oest del meridià de Greenwich; si, per contra, ens trobem a l'Est del m. de Greenwich, caldrà que restem de 360º, ja que la longitud es mesura de 0º a 180º (vers l'Est o l'Oest), mentre que l'angle horari es mesura de 0º a 360º. Cal també tenir en compte que no sempre és possible situar-nos d'aquesta manera. És clar que si el cel està total o parcialment ennuvolat no podrem caçar i "fer baixar" el Sol en el curt interval de temps que dura el pas del Sol pel meridià local.

Els patrons de temps i el problema històric de la determinació de la longitud de l'observador en navegació

Els patrons de temps astronòmic Per temps sideral (temps "de les estrelles") entenem l'interval de temps entre dos passos successius d'un estel pel meridià local i, en particular, anomenem temps sideri a la mesura del temps basada en el patró de temps que es defineix com l'interval entre dos passos successius del punt Àries per un mateix meridià (dia sideri). Per altra banda, en l'activitat quotidiana, el patró de temps més natural és el basat en el temps solar vertader o temps sinòdic que, tot ser més apropiat per estar basat en els intervals de llum i foscor (dia i nit) en el lloc de la Terra on ens trobem és, per contra, menys regular que el temps sideral. Aquesta irregularitat del patró de Sol vertader es deguda a dues causes: d'una banda, com que l'òrbita de la Terra no és una circumferència sinó una el·lipse i, per tant, la seva velocitat no és la mateixa en tots els punts de l'òrbita, el moviment aparent del Sol que recorre l'eclíptica tampoc es produeix a velocitat constant; per altra banda, atenent que el moviment aparent del Sol no segueix l'equador celeste (sinó l'eclíptica), l'angle horari del Sol, és a dir, el temps mesurat mitjançant la variació d'aquesta quantitat, no varia a un ritme constant. És per això que el patró amb què s'efectuen els càlculs d'astronomia de posició a la Terra no és, doncs, el patró de Sol vertader - irregular de mena, com ja s'ha explicat -, ans el patró anomenat Sol mitjà, el qual és refereix a un Sol imaginari que es mogués sempre sobre l'equador celeste a una velocitat constant (la variació de l'angle horari d'aquest sol imaginari sobre l'equador és constant) i té - per natural requeriment - el mateix període que el del Sol vertader. Aquest patró de Sol mitjà és el del dia solar mitjà: l'interval de temps entre dos passos successius del Sol mitjà per un mateix meridià, un patró de prou regular que, en particular, anomenem de temps universal (TU) si, per conveni, mesurem el temps situats en el meridià del Royal Observatory de Greenwich (GB). La diferència entre el temps del Sol vertader i el temps del Sol mitjà és igual a l'equació del temps, quantitat que es pot trobar en els anuaris astronòmics i que, per exemple, cal consultar necessàriament si volem construir i ubicar un rellotge de Sol. (cronòmetre marí. Procedència de la imatge: http://www.iag.csic.es/museo/tipo.htm)El temps sideral, no coincideix exactament amb el temps sideri, i molt menys, és clar, amb el temps universal (TU). La raó d'aquest escrit, de fet, és reflexionar sobre el perquè el pas d'una estació a l'altra no es regular i, per tant, parlar concretament sobre el temps sideri, el patró de temps relacionat amb el moviment aparent/relatiu del punt Àries a l'esfera celeste. Com explicarem a continuació, en navegació, el problema del temps està relacionat íntimament amb el problema de la determinació de la longitud: poder mesurar el temps astronòmic referit a un lloc convingut en una posició determinada permet deduir-ne la seva longitud. La determinació de la latitud no va presentar mai tantes dificultats com el de determinar la longitud. Abans que John Harrison aportés una solució pràctica i prou precisa que passava per dur a bord un cronòmetre fiable i precís amb l'hora del meridià de referència, hom intentà resoldre el problema de trobar la longitud [mesurar el temps astronòmic referit a un meridià de referència] fent observacions astronòmiques - difícils en navegació -, concretament, mesurant distància entre la Lluna i alguna estrella o planeta. John Harrison, gravat (Royal Observatory) de l'artista Peter Joseph Tassaert, datat el 1768, i extret, probablement, del retrat preliminar pintant a l'oli per Thomas King Però, tal i com ja hem avançat, per als navegants, el problema de determinar la longitud d'un punt de la Terra desconegut on es trobessin - d'enorme importància pel que fa a la seguretat - no va ser resolt d'una forma eficaç fins que John Harrison, fuster i rellotger, d'una excepcional habilitat i inventiva per a la la mecànica, va construir i posar a punt el primer cronòmetre marí fiable el 1759. John Harrison va inventar i construir quatre cronòmetres marins (des de l'any 1714 fins el 1759) ; els darrers, amb l'ajut del seu fill William Harrison. Eren instruments precisos, robustos i fiables. La seva maquinària no requeria lubricació i en la seves peces es feia ús d'una combinació de metalls que compensava les dilatacions i contraccions degudes als canvis de temperatura [làmines bimetàliques (de llautó i acer) d'efectes contraposats], a la vegada que emprava determinades fustes resinoses per a algunes peces de transmissió de la maquinària que permetien prescindir de la delicada operació de greixar la delicada maquinària, amb tots els inconvenients que això havia comportat amb anterioritat. Per altra banda el sistema per emmagatzemar l'energia mecànica i el sistema de peces basculants permetia confiar amb el cronòmetre en situacions de mala mar, amb molt de moviment. El cronòmetre més pesant de la sèrie feia gairebé 40 kg, i el més lleuger, poc més d'un quilogram. Amb la seva contribució es va fer mereixedor del premi que el rei Carles II havia ofert a qui resolgués d'una manera pràctica i precisa el problema de la determinació de la longitud (o l'hora del meridià de referència) en navegació, Harrison fou recompensat amb aquest premi l'any 1773. Els tres primers similars en concepció: l'H1 (el més gran i pesant), l'H2, l'H3 i, finalment, el quart i últim, l'H4, molt més petit i lleuger que els altres tres però igualment fiable. L'H4 tenia un decímetre de diàmetre, aproximadament, anava muntat sobre uns balancins i disposava d'una molla bimètalica que li proporcionava l'energia elàstica necessària per mantenir-lo en funcionament. Amb l'H4 es va fer la primera prova en navegació oceànica el 1762, en un viatge entre Anglaterra i Jamaica (Carib). D'acord amb les anotacions del viatge, l'error acumulat va ser tan sols de 5 segons, la qual cosa suposava un error de navegació en longitud de 1.25 minuts d'arc de meridià. I, quan al punt de recalada, un cercle d'error de 30 milles nàutiques de radi. Fou tot un èxit. James Cooke emprà també amb gran èxit un cronòmetre construït per Larcum Kendall, el K1 (una còpia de l'H4 de Harrison), en el seu segon viatge en el HMS Resolution que, després de tres anys d'haver començat, finalitzà el 1776. Després de molts anys de patir una competència molt agressiva i no exempta de joc brut per part d'alguns personatges clau, defensors mètode rival (el de les distàncies lunars) i que ocupaven llocs clau en la presa de decisions en aquests afers, John Harrison, amb l'ajut del seu fill William, va poder acreditar ser mereixedor, amb tota justicia, del premi que havia establert la corona britànica per a la solució del problema de la longitud. Fins a final de segle XIX i malgrat disposar ja de cronòmetres marins - apareguts de la mà de John Harrison i els seus successors -, els pilots i capitans continuaven confiant molt en el mètode de les distàncies lunars, sobre tot, perquè en aquells temps encara no hi havia cap sistema per sincronitzar de forma remota els cronòmetres - com es fa actualment amb els senyals horaris de radio -; en aquell temps, l'única manera de fer-ho consistia a calcular l'hora TU vertadera a partir de tres lectures de cronòmetre i una distància lunar - a més a més de poder obtenir també la longitud de l'observació, per descomptat - podent posar així a hora el cronòmetre (determinar-ne l'estat absolut en termes de navegació). Per això, calia una bona preparació en navegació astronòmica per part de pilots i capitans i, no cal dir-ho, efectuar unes mesures prou precises, tant de la distància entre la Lluna i un altre astre, sobre el cercle màxim de l'esfera celeste que els uneix, així com de les altures: de la Lluna i de l'astre. Recordem que el mètode de les distàncies lunars permet obtenir l'hora TU amb una precisió màxima de 2 min. Per determinar la longitud per observació dels astres calia fer ús d'instruments adequats: els octants i sextants, i per a les observacions en terra, altres de més precisos, com ara el cercle de reflexió o cercle de Borda, ja que amb els sextants i octants no s'obtenia tan bon resultat. Recordem que, per contra, l'obtenció de la latitud ja feia segles que s'havia resolt satisfactòriment a partir, és clar, d'observacions astronòmiques. La simplicitat, la precisió i eficàcia de tenir a bord un rellotge, adaptat a la navegació, que donés l'hora del meridià de referència, reproduint el pas del temps sense problemes mecànics i per tant amb la regularitat i precisió necessàries, acabà imposant-se. Els rellotges, que s'havien fet servir amb anterioritat a l'H1 s'endarrerien o s'avançaven, degut a la dilatació i la contracció tèrmica, la corrosió de les seves peces, les quals, a més, també requerien lubricació. Quant al meridià de referència, val a dir que no era pas el mateix a tot el Món. En particular, els britànics – des de l'any 1765 – l'establiren de tal manera que aquest correspongués a la longitud de l'observatori de Greenwich, a Londres (Royal Observatory). Els espanyols empraven llavors els seu propis meridià de referència, el que passava per Real Observatorio en San Fernando, Cadiz, fundat per l'astrònom Jorge Juan el 1753. Els francesos també tenien el seu propi meridià de referència. No va ser fins l'u de gener de 1885 que el meridià de Greenwich fou el de referència internacional, fruit de l'acord de els països. L'objectiu de la institució era publicar periòdicament les efemèrides i dades astronòmiques referents als planetes, el Sol i la Lluna, així com les dels estels visibles (almanacs) per tal de fer possibles els càlculs de Navegació Astronòmica necessaris per situar-se en el mar. En aquell moment, els cronòmetres marins eren molt cars. No pas tots els capitans i oficials de derrota es podien permetre tenir-ne un o dos (a bord hom en duia més d'un, per tal de fer les correccions necessàries) i és per això que el mètode dit de les distàncies lunars fou emprat alternativament a la simple lectura del cronòmetre. No obstant això, l'ús del cronòmetre acabà imposant-se donats els seus avantatges en relació als mètodes d'observació directa basats en distàncies entre astres, i posteriors càlculs els quals, per cert, no eren pas senzills, considerant, a més, que en aquells temps que no existien les calculadores o els ordinadors, per bé que hom tenia, això sí, l'ajut de taules trigonomètriques i de logaritmes, així com d'altres específiques per a la navegació. El quart cronòmetre de Harrison, fou posat a prova el 1762, en la travessia de l'Atlàntic. El viatge va durar tres mesos i tan sols es va observar un endarreriment de 5 segons. Després de sis mesos, havent tornat el vaixell al port d'origen, l'error entre la partida i la tornada fou de dos minuts. Robert Cook, va fer servir els cronòmetres des del seu primer viatge (1768-1771) de prospecció topogràfica i de descobriment. Definitivament, la solució del cronòmetre marí, inventat per John Harrison, s'havia imposat sobre el mètode de les distàncies entre astres (el de les distàncies lunars, com a competidor, en concret). Com és ben sabut, disposar del temps en el meridià de referència, el temps TU amb la precisió més gran que sigui possible és fonamental per treballar amb rectes i cercles d'altura. El mètode de situació per intersecció de rectes d'altura, a partir de les altures dels astres, l'hora TU i una posició estimada que s'ensenya a les escoles de nàutica es deu al Capità Thomas Hubbard Sumner, el qual publicà l'any 1843 en un treball titulat A New and Accurate Method of Finding a Ship’s Position at Sea. És interessant comentar també que trobar la intersecció dels cercles d'altura, directament, permet prescindir de la situació estimada per determinar la situació vertadera, per bé que els càlculs de trigonometria esfèrica es compliquen una mica, no poden escapar-nos-en mitjançant mètodes gràfics aproximats. Actualment, però, amb l'ús d'una simple calculadora programable es perfectament viable i precís.

Rellotge de sol de tipus equatorial cilíndric

Rellotge equatorial cilíndric situat al passeig Marítim de Tarragona (Tarragona), al costat de l'edifici de la Comandància de Marina. Indica l'hora del Sol vertader (i els quarts d'hora), l'hora del Sol mitjà de la zona horària, i també indica el mes en el calendari de mesos zodiacals.

Instruments de navegació i de n. astronòmica (Museo Naval, Madrid)

Un petit mostrari d'instruments de navegació astronòmica [ fotografies que he fet en una de les meves visites al Museo Naval (Madrid) ] { astrolabis, quadrants, ballestilla, octants, sextants, cronòmetres marins, ampolletes, corredores, anells solars, i d'altres instruments }

Un repaso sobre las nociones elementales relativas al tiempo en Navegación Astronómica

- La "hora civil del lugar" (HCL) es la hora del meridiano del observador. Por tanto, HCL=HCG+L/15, donde L es la longitud del lugar y L/15, la longitud en tiempo, ya que cada 15 grados de diferencia de longitud equivale a una hora de adelanto (al Este de Greenwich) o retraso (al Oeste de Greenwich). - La "hora legal" (o HZ) es la hora del huso o franja horaria donde se encuentra el observador y, claro, es precisamente la "hora del reloj de bitácora" (HRB). Recordemos que HZ = HCG+Z, donde Z es el número de huso horario (con su signo). Se puede calcular de la siguiente manera: dividimos L entre 15: si el resto de la división es menor que 7,5, el numero entero cociente de la división da el número de huso horario y, si el resto es mayor que 7,5, el número de huso será igual al cociente más una unidad. Ojo, con el signo (positivo al Este de Greenwich/negativo al Oeste). - La "hora oficial" (HO) es la que establecen los gobiernos al modificar la hora legal en función de criterios de ahorro energético. En invierno, en España y, concretamente, en la Península HO(Península, Baleares, ...) = HZ(Península, Baleares, ...)+adelanto, que es igual a 1h, y puesto que HZ(Península, Baleares, ...)=HCG, ya que en {la Península, Baleares, etcétera}, estamos en el huso cero; por tanto, HO({Península, Baleares ...}) = HCG+1. En España y en Canarias, HO(Canarias)=HZ(Canarias)+1, pero como HZ(Canarias)=HCG+(-1), tenemos, HO(Canarias)=HCG. En verano, recordemos que el adelanto establecido por el gobierno es de 2 horas. Ya sea por curiosidad, necesidad de obtener la hora oficial de un determinado lugar o bien para autocomprobar los ejercicios de cálculo relacionados con la hora, os recomiendo que consultéis la hora legal de cualquier parte del mundo en esta página web: http://www.timeanddate.com/worldclock/ Supongamos que nos encontramos en posición: latitud (tan_to_nos_da), Longitud L (co_no_ci_da). Conocemos también la hora en el meridiano de Greenwich (HCG o TU) porqué nuestro cronómetro - actualmente disponemos de excelentes y asequibles relojes de cuarzo para esta finalidad, cualquier reloj de pulsera con cronógrafo puede servir -, a punto para jugar a bajar estrellas, y que tenemos a bien, ajustarlo periódicamente con las señales horarias que recibimos gracias a nuestro aparato de radio BLU puesto que – puestos a imaginar -, estamos en mitad del Atlántico, rumbo a América. Si eso no fuese posible, deberíamos proceder controlando el adelanto o atraso de nuestro cronómetro o cronómetros, conociendo sus estados absolutos en cada momento y, por tanto, llevando al día el diario de cronómetros del cuarto de derrota. CUESTIÓN 1. Qué debemos hacer para saber la hora en nuestro meridiano (HCL) ? Seguimos estos dos pasos: 1.1 Convertimos la longitud L de nuestra posición en tiempo (dividiendo por 15, puesto que cada 15° de diferencia de longitud representa una hora de retraso/adelanto ). Obtendremos así el incremento de tiempo que deberemos restar/sumar a HCG 1.2. Si nos encontramos al Oeste de Greenwich debemos restar dicho incremento a HCG para obtener la hora de tu meridiano (HCL); si nos encontrásemos al Este, deberíamos sumarlo. CUESTIÓN 2. Cuál es la hora del huso Hz del lugar dónde nos encontramos ? (esa será la hora que debe indicar nuestro reloj de bitácora HRB que tenemos colgado en un mampara de la cabina. Comentario: cuando consultemos el anuario de mareas debemos trabajar con HRB. Bien, haremos lo siguiente: 2.1 Calculamos primero el número de huso horario (franja horaria) Z. Cada franja o huso horario tiene una amplitud de 15°. Si nuestro meridiano se encuentra entre 7,5° W y 7,5° E, estaremos en el huso 0 (Z=0); si no estamos en esa franja de longitudes quedémonos con el número entero mayor más próximo al valor_absoluto de (L-7,5)/15; es decir, olvidémonos de momento del signo. Después, razonemos su signo: si nos encontramos al Este de Greenwich Z, será positivo, en caso contrario será negativo. Ejemplo 1. Si nuestra posición es Longitud: 7,6° E, al hacer la resta primero y luego la división por 15 nos dará – compruébalo - 0,5067, aproximadamente. Y, a continuación, quedémonos con el mayor número entero más próximo: 1. Ahora razonemos el signo. Estamos al Este, verdad ? Entonces, Z=+1. Como debe ser. También se puede hacer de esta otra forma: dividimos L entre 15. Si el resto de la división es menor que 7,5, el numero entero cociente de la división da el número de huso horario y, si el resto es mayor que 7,5, el número de huso será igual al cociente más una unidad. Ojo, con el signo (positivo al Este de Greenwich/negativo al Oeste). Como el resto(7,6 div 15)=7,6 > 7,5, Z=cociente(22,6 div 15) +1. El cociente entero es igual a 0, por tanto, Z=0+1=1 (positivo, por estar al Este del merdiano de Greewich). Ejemplo 2. Si nuestra posición es Longitud: 7,6° W, al hacer la resta primero y luego la división por 15 obtenemos -0,5067, aproximadamente. Olvidémonos del signo de momento, con lo cual, nos quedamos con 0,5067; luego, obtengamos el mayor número entero más próximo: 1. Y, finalmente - lo mismo de antes - razonemos el signo. Estamos, en este caso, al Oeste, por tanto, Z=-1. Haciéndolo con el método del resto de la división tenemos que, en este caso, como el resto(7,6 div 15)=7,6 > 7,5; cociente(22,6 div 15) +1. El cociente entero es igual a 0 y, ahora, añadimos el signo correspondiente Z=-(0+1)=-1 (por estar al Oeste del meridiano de Greenwich). Ejemple 3. A qué uso corresponde un punto de L=22,6 E ? Veamos, como resto(22,6 div 15)=7,6 > 7,5, Z=cociente(22,6 div 15) +1. Como el cociente entero es igual a 1, Z=1+1=+2 (positivo, por estar al Este del meridiano de Greenwich). 2.2. Una vez conocido el valor del huso en el que está nuestro meridiano, para saber Hz o HRB, simplemente hacemos: HRB = HCG + Z, haciendo la suma con el signo que toque y que ya hemos comentado en los ejemplos del punto anterior. Comentario: Si alguna vez vamos en busca de los alisios del nordeste – me refiero a cruzar el Atlántico - acordémonos de que, debemos ir cambiando la hora de nuestro reloj de bitácora a medida que nos vayamos acercando a nuestro destino, cruzando husos. Y, si recalamos en alguna isla, al bajar a tierra tendremos que poner nuestro reloj de pulsera conforme a la hora oficial (HO) que el gobierno en cuestión haya eventualmente establecido (HO = Hz + adelanto horario)

Alan Turing

• A la carta
• > La Universidad Complutense recuerda a Alan Turing en el centenario de su nacimiento

Programació lineal

Amb el terme Programació Lineal ens referim a les tècniques matemàtiques encarades a esbrinar els valors màxim o mínim d'una funció lineal (funció objectiu). La funció objectiu es representa gràficament per una recta en el pla (si es treballa amb dues variables) i està sotmesa a un sistema de restriccions (condicions entre les variables) les quals s'expressen algèbricament mitjançant un sistema de desigualtats lineals. El valor o valors de les variables del problema per a les quals la funció estudiada es fa màxima o mínima s'anomena solució òptima. Treballant en dues dimensions, el sistema de desigualtats delimita una regió del pla que té contorn poligonal. Aquesta regió del pla s'anomena regió factible perquè és entre els seus punts que trobarem aquells que fan que la funció objectiu prengui un valor òptim. Un problema de Programació Lineal consisteix, precisament, a determinar aquests punts i, de retruc, els valors màxim o mínim de la funció lineal a optimitzar. George Dantzig generalitzà el problema (l'any 1947) a un nombre arbitrari de variables i dissenyà un algorisme que en dóna solucions. També van fer importants contribucions al desenvolupament i generalització d'aquestes tècniques matemàtiques importants matemàtics i físics teòrics com ara John von Neumann així com matemàtics i economistes com Leonid Kantórovich. Aquest algorisme es coneix amb el nom d'algorisme simplex. L'algorisme simplex s'implementa en programes d'ordinador. Sobre el tema, ben recentment, s'han fet valuoses aportacions teòriques (vegeu: conjectura de Hirch). Aquí, però, no ens n'ocuparem de l'algorisme simplex: tan sols aprendrem a optimitzar funcions lineals de dues variables i, per això, n'hi ha prou a resoldre el problema de forma gràfica. Podem assegurar que hi ha solució sempre i quan la regió factible tingui contorn poligonal convex. Necessitarem paper quadriculat, regle, i escaire o cartabó per traçar rectes paral·leles a una de donada.

La ecuación logística y otros asuntos sobre modelos matemáticos en ecologia

A [1] i a [2] podeu llegir un parell d'articles introductoris sobre aquesta famosa equació que vaig escriure a mode de resum de les notes que vaig prendre i dels càlculs que vaig fer amb el programa DERIVE 6.1 quan vaig abordar el tema fent alguns exercicis, a partir de la lectura d'alguns llibres que es poden considerar com a clàssics en la matèria. L'equació logística (o funció logística) és una de les primeres equacions discretes on es va constatar la presència de caos determinista. L'equació expressa també un model clàssic de la dinàmica d'una població de creixement auto limitat en biologia matemàtica que va ser formulada per primera vegada per Pierre François Verhulst el 1838 i retrobada a posteriori per per Alfred J. Lotka (especialment conegut pels treballs conjunts amb Vito Volterra: equacions de Lotka-Volterra), tant és així que, de vegades, l'equació es cita com a equació de Verhulst-Lotka. Actualment, per altra banda, l'estudi de l'equació logística és també un dels passos obligats per qui comença l'estudi dels sistemes dinàmics i fenòmens no lineals. fotografia de Pierre. F. Verhulst. Crèdit:Wikipedia crèdits de la fotografia de Vito Volterra: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Volterra_6.jpeg Els càlculs els vaig fer amb el programa DERIVE 6.1, un eina especialment encarada al càlcul amb funcions recursives. Les figures que he posat a sota mostren tres comportaments quant a la solució i el procés numèric recursiu per trobar-la els quals estan en funció del valor inicial de partida amb què es comença el procés recursiu i també, és clar, del valor del paràmetre d'estructura de l'equació. La primera mostra la presència d'un cicle al voltant d'un valor al qual no s'hi acaba d'arribar mai; la tercera, caos; i la sogona, una convergència estable. A sota podeu veure el programa escrit amb el llenguatge propi de DERIVE que consta d'una funció recursiva amb els corresponents arguments que figuren entre parèntesi, així com una mostra de com s'engega la funció amb el valor dels arguments. La funció es crida a ella mateixa n vegades, valor que entrem quan engeguem la funció, juntament amb el valor del paràmetre d'estructura a, i el valor inicial de x. És interessant comentar que les situacions en què es dóna caos determinista es corresponen amb la dimensió fractal de l'objecte geomètric constituït per les trajectòries del sistema dinàmic a l'espai de les fases.

Modelització matemàtica

Els mètodes Monte Carlo i el càlcul de probabilitats amb cadenes de Markov són exemples bàsics de mètodes matemàtics que es fan servir per posar en pràctica models complicats, encarats a descriure sistemes amb moltes variables i comportaments complexos - ecosistemes, per exemple -, típics de la Dinàmica de Sistemes (System dynamics en la terminologia anglosaxona) - que cal no confondre-ho amb la Teoria de Sistemes Dinàmics, corpus de la Mecànica Clàssica -. la Dinàmica de Sistemes és una metodologia que es troba a mig camí entre els models reduccionistes i els models holistes i que està basada en la sistemàtica de Jay Forrester i, naturalment, admet la Teoria de Sistemes Dinàmics, però també molts d'altres aspectes de la Física, la Matemàtica i el Càlcul Científic, com a nuclis imprescindibles per elaborar qualsevol model d'un sistema complicat o complex, és a dir, on hi hagi participació de moltes variables, relacions no lineals entre elles, sensibilitat a les condicions inicials, rulls de realimentació, retards causa-efecte, etcètera. La Teoria Matemàtica de la Informació se sol fer servir també per interpretar els resultats de mesures i simulacions numèriques. Cal fer remarca aquí de la important contribució de E.T. Jaynes, autor de la formulació del Principi de Màxima Entropia o Maxent, en el camp de l'aplicació de la TMI a la Física i als ecosistemes (entre d'altres aportacions fonamentals). Quant als mètodes matemàtics de càlcul en computació, és força important la noció de discretització de magnituds continues, és per això que la branca de l'Anàlisi Matemàtica que es coneix amb el nom anglosaxó de Fractional Calculus és una peça matemàtica rellevant pel que fa a la integració de sistemes d'equacions diferencials amb moltes variables, o bé per al tractament i anàlisi de senyal (tranformades).