Integrales definidas impropias

Decimos que una integral es impropia si la función del integrando o bien el dominio de integración no están acatados.
EJEMPLOS:

a) La función no está acotada.
ENUNCIADO. Calcúlese la integra definida $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
SOLUCIÓN. $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a \rightarrow 0}\,\left( \int_{a}^{0}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx\right)=2\,\lim_{a \rightarrow 0}\,\left( 1-\sqrt{a}\right)=2$

b) El dominio de integración no está acotado.
ENUNCIADO. Calcúlese la integra definida $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$
SOLUCIÓN. $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b \rightarrow \infty}\,\left( \int_{1}^{b}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx\right)=-\,\lim_{b \rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{1}{b}-1\right)=1$
$\square$