Plano tangente a una superficie

Sea $\mathcal{S}$ una superficie forma por el conjunto de puntos $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tales que $f(x,y,z)=k$, siendo $k$ una constante. Entonces, el plano tangente $\pi$ a $\mathcal{S}$ en un punto $(x_P,y_P,z_P)$ de $\mathcal{S}$ viene dado por $$\langle \vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P)\,,\,(x-x_P,y-y_P,z-z_P)\rangle =0$$ si $\vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P) \neq \vec{0}$ y donde $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=\left( \dfrac{\partial}{\partial\,x}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,z}\,f\right)$ es el gradiente de la función escalar $f$.

EJEMPLO. Calcúlese la ecuación del plano tangente a la superficie definida por $3xy+z^2=4$ en el punto $P(1,1,1)$.

SOLUCIÓN. En el caso que nos ocupa es $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, y, por tanto, $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, luego $\vec{\nabla}\,f(1,1,1)=(3\cdot 1,3\cdot 1,2\cdot 1)=(3,3,2)$

Por consiguiente, el plano tangente pedido vendrá dado por $\pi \equiv \langle (3,3,2)\,,\,(x-1,y-1,z-1)\rangle=0$, esto es, $$\pi \equiv 3c+3y+2z-8=0$$

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