Plano tangente a una superficie en un punto dado

La euación del plano tangente a una superficie $F(x,y,z)=0$ en un punto de la misma $P(x_P,y_P,z_P)$ viene dada por $$\left(\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\right)_P\,(x-x_P)+\left(\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\right)_P\,(y-y_P)+\left(\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\right)_P\,(z-z_P)=0$$

Ejemplo:
Consideremos la superficie de la esfera $\mathcal{E}:x^2+y^2+z^2=1$, entonces la ecuación del plano tangente en el punto $\pi_t:P(0,0,1)$ es $$(2x)_P\cdot (x-x_p)+(2y)_P\cdot (y-y_P)+(2z)_P\cdot (z-z_P)=0$$ que, con las coordenadas del punto $P$ queda $$\pi_t:(2\cdot 0)\cdot (x-0)+(2\cdot 0)\cdot (y-0)+(2\cdot 1)\cdot (z-1)=0$$ $$\pi_t:2\cdot (z-1)=0$$ esto es, $$\pi_t:z=1$$ que representa el plano paralelo al plano $Oxy$ en el polo norte de la esfera de radio unidad $\diamond$

Plano tangente a una superficie

Sea $\mathcal{S}$ una superficie forma por el conjunto de puntos $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tales que $f(x,y,z)=k$, siendo $k$ una constante. Entonces, el plano tangente $\pi$ a $\mathcal{S}$ en un punto $(x_P,y_P,z_P)$ de $\mathcal{S}$ viene dado por $$\langle \vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P)\,,\,(x-x_P,y-y_P,z-z_P)\rangle =0$$ si $\vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P) \neq \vec{0}$ y donde $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=\left( \dfrac{\partial}{\partial\,x}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,z}\,f\right)$ es el gradiente de la función escalar $f$.

EJEMPLO. Calcúlese la ecuación del plano tangente a la superficie definida por $3xy+z^2=4$ en el punto $P(1,1,1)$.

SOLUCIÓN. En el caso que nos ocupa es $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, y, por tanto, $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, luego $\vec{\nabla}\,f(1,1,1)=(3\cdot 1,3\cdot 1,2\cdot 1)=(3,3,2)$

Por consiguiente, el plano tangente pedido vendrá dado por $\pi \equiv \langle (3,3,2)\,,\,(x-1,y-1,z-1)\rangle=0$, esto es, $$\pi \equiv 3c+3y+2z-8=0$$

$\square$