Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$. El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:
- Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, la solución del sistema es una variedad que tiene dimensión igual a $3-2=1$, luego corresponde a una recta; esto es, los dos planos se intersecan en una recta. Nota: En el caso que
- Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=1$, la solución del sistema es una variedad que tiene dimensión igual a $3-1=2$, luego corresponde a un plano, al mismo plano que uno y otro; esto es, los dos planos son coincidentes
- Si $\text{rango}(M)=1$ y $\text{rango}(\tilde{M})=2$, el sistema es incompatible (teorea de Rouché-Fröbenius), esto es, no tiene solución; luego esta situación corresponde a dos planos paralelos no coincidentes
