Vamos a resolver la siguiente ecuación de Bernoulli: $$y'=y+5x\,y^2$$
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es una e. de Bernoulli si es del tipo $$y'=y\,f(x)+g(x)\,y^n$$ Este tipo de ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales mediante el cambio de variable $u=y^{1-n}$
En el caso que nos ocupa, $n=2$, luego haremos el cambio de variable $u=y^{1-2}$, esto es, $u=y^{-1}$, que, si se prefiere, podemos expresarlo de la forma $u=\dfrac{1}{y}$. Entonces, $y=\dfrac{1}{u}$, con lo cual $y'=-\dfrac{1}{u^2}\,u'$
Sustituyendo en la ecuación propuesta, ésta se escribe de la siguiente manera:
$-\dfrac{1}{u^2}\,u'=\dfrac{1}{u}+\dfrac{5x}{u^2}$
$-u^2\,\dfrac{1}{u^2}\,u'=u^2\,\dfrac{1}{u}+u^2\,\dfrac{5x}{u^2}$
$-u'=u+5x$
$u'+u=-5x$, que es una ODE lineal no homogénea, que podemos resolver realizando el cambio de variable $u=w\,t$; entonces $u'=w't+t'w$, y, haciendo las sustituciones correspondiente, llegamos a:
$w'\,t+w\,t'+w\,t=-5x$
$(w'+w)\,t+w\,t'=-5x \quad (1)$
Siendo $w'+w=0 \quad (2)$ la ecuación homogénea asociada a $(1)$, vemos que su solución es:
$\dfrac{dw}{dx}+w=0$
$\dfrac{dw}{w}=-dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dw}{w}=\int\,-dx$, por lo que, integrando en cada miembro, vemos fácilimente que una primitiva (nos sirve cualquiera de la familia de primitivas) es:
$w=e^{-x} \quad (1.1)$
Sustituyendo ahora en $(1)$ y teniendo en cuenta $(2)$:
$0\cdot t +e^{-x}\,t'=-5x$
$0 +e^{-x}\,t'=-5x$
$e^{-x}\,t'=-5x$
$e^{-x}\,\dfrac{dt}{dx}=-5x$
$-5\,x\,e^{x}\,dx=dt$
$\displaystyle \int\,-5\,x\,e^{x}\,dx=\int\,dt$
$\displaystyle -5\,\int\,x\,e^{x}\,dx=\int\,dt$
Integrando, ambos miembros (por el método de por partes la integral del primer miembro), resulta:
$\displaystyle t=-5\,e^{x}\,(x-1)+C$
Deshagamos ahora el segundo cambio de variables, $u=w\,t$, entonces $t=\dfrac{u}{w}$. Obtendremos así:
$\displaystyle \dfrac{u}{w}=-5\,e^{x}\,(x-1)+C$
$\displaystyle u=w\cdot \left(-5\,e^{x}\,(x-1)+C\right)$, y teniendo en cuenta $(1.1)$:
$\displaystyle u=e^{-x}\cdot \left(-5\,e^{x}\,(x-1)+C\right)$
$\displaystyle u=-5\,e^{-x}\cdot e^{x}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
$\displaystyle u=-5\,e^{-x+x}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
$\displaystyle u=-5\,e^{0}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
$\displaystyle u=-5\cdot 1\cdot (x-1)+C\,e^{-x}$
$\displaystyle u=-5\,(x-1)+C\,e^{-x}$
Finalmente, vamos a deshacer el primer cambio de variable, $u=\dfrac{1}{y}\Rightarrow y=\dfrac{1}{u}$:
$\displaystyle \dfrac{1}{y}=-5\,(x-1)+C\,e^{-x}$
$\displaystyle y=\dfrac{1}{-5\,(x-1)+C\,e^{-x}}$
$\displaystyle y=-\dfrac{1}{5\,(x-1)-C\,e^{-x}}$
$\diamond$
