Resolucón de ODEs de Bernoulli. Un ejemplo

Vamos a resolver la siguiente ecuación de Bernoulli: $$y'=y+5x\,y^2$$

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es una e. de Bernoulli si es del tipo $$y'=y\,f(x)+g(x)\,y^n$$ Este tipo de ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales mediante el cambio de variable $u=y^{1-n}$

En el caso que nos ocupa, $n=2$, luego haremos el cambio de variable $u=y^{1-2}$, esto es, $u=y^{-1}$, que, si se prefiere, podemos expresarlo de la forma $u=\dfrac{1}{y}$. Entonces, $y=\dfrac{1}{u}$, con lo cual $y'=-\dfrac{1}{u^2}\,u'$

Sustituyendo en la ecuación propuesta, ésta se escribe de la siguiente manera:
  $-\dfrac{1}{u^2}\,u'=\dfrac{1}{u}+\dfrac{5x}{u^2}$
    $-u^2\,\dfrac{1}{u^2}\,u'=u^2\,\dfrac{1}{u}+u^2\,\dfrac{5x}{u^2}$
      $-u'=u+5x$
        $u'+u=-5x$, que es una ODE lineal no homogénea, que podemos resolver realizando el cambio de variable $u=w\,t$; entonces $u'=w't+t'w$, y, haciendo las sustituciones correspondiente, llegamos a:
          $w'\,t+w\,t'+w\,t=-5x$
            $(w'+w)\,t+w\,t'=-5x \quad (1)$

Siendo $w'+w=0 \quad (2)$ la ecuación homogénea asociada a $(1)$, vemos que su solución es:
  $\dfrac{dw}{dx}+w=0$
    $\dfrac{dw}{w}=-dx$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{dw}{w}=\int\,-dx$, por lo que, integrando en cada miembro, vemos fácilimente que una primitiva (nos sirve cualquiera de la familia de primitivas) es:
        $w=e^{-x} \quad (1.1)$

Sustituyendo ahora en $(1)$ y teniendo en cuenta $(2)$:
  $0\cdot t +e^{-x}\,t'=-5x$
    $0 +e^{-x}\,t'=-5x$
      $e^{-x}\,t'=-5x$
        $e^{-x}\,\dfrac{dt}{dx}=-5x$
        $-5\,x\,e^{x}\,dx=dt$
          $\displaystyle \int\,-5\,x\,e^{x}\,dx=\int\,dt$
            $\displaystyle -5\,\int\,x\,e^{x}\,dx=\int\,dt$
Integrando, ambos miembros (por el método de por partes la integral del primer miembro), resulta:
              $\displaystyle t=-5\,e^{x}\,(x-1)+C$

Deshagamos ahora el segundo cambio de variables, $u=w\,t$, entonces $t=\dfrac{u}{w}$. Obtendremos así:
  $\displaystyle \dfrac{u}{w}=-5\,e^{x}\,(x-1)+C$
    $\displaystyle u=w\cdot \left(-5\,e^{x}\,(x-1)+C\right)$, y teniendo en cuenta $(1.1)$:
      $\displaystyle u=e^{-x}\cdot \left(-5\,e^{x}\,(x-1)+C\right)$
        $\displaystyle u=-5\,e^{-x}\cdot e^{x}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
          $\displaystyle u=-5\,e^{-x+x}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
            $\displaystyle u=-5\,e^{0}\,(x-1)+C\,e^{-x}$
              $\displaystyle u=-5\cdot 1\cdot (x-1)+C\,e^{-x}$
                $\displaystyle u=-5\,(x-1)+C\,e^{-x}$

Finalmente, vamos a deshacer el primer cambio de variable, $u=\dfrac{1}{y}\Rightarrow y=\dfrac{1}{u}$:
  $\displaystyle \dfrac{1}{y}=-5\,(x-1)+C\,e^{-x}$
    $\displaystyle y=\dfrac{1}{-5\,(x-1)+C\,e^{-x}}$
      $\displaystyle y=-\dfrac{1}{5\,(x-1)-C\,e^{-x}}$
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Una ecuación diferencial no homogénea transformable en homogénea mediante un cambio apropiado de variables

Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) no homogéneas pueden transformarse en homogéneas mediante un cambio de variable apropiado. En este ejemplo vamos a resolver una ecuación de ese tipo: $$(x+y-4)\,dx+(x-y)\,dy=0$$

Observemos que la razón por la que la ecuación diferencial en cuestión no es homogénea es que, aunque la función coeficiente $N(x,y)=x-y$ es una función homogénea (pues $N(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,x-\lambda\,y=\lambda\,(x-y)=\lambda\,N(x,y)$) , la función del otro coeficiente, $M(x,y)=x+y-4$, no es una función homogénea: $M(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,x+\lambda\,y+4 \neq \lambda\,M(x,y)$

Sin embargo, como las funciones de los coeficientes son funciones lineales afines, podemos transformar esta ecuación diferencial no homogénea, mediante el cambio de variables: $\left\{x=u+x_I \\ y=v+y_I\begin{matrix}\end{matrix}\right.$, donde $(x_I,y_I)$ son las coordenadas del punto de intersección, $I$, de las rectas $$\left\{\begin{matrix}r:& M(x,y)=0=0\\ s:& N(x,y)=0\end{matrix}\right.\;\text{esto es}\; \left\{\begin{matrix}r:& x+y-4=0\\ s:& x-y=0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que el punto de intersección es $I(2,2)$, es decir, $x_I=2$ y $y_I=2$. Entonces, el cambio de variables que vamos a realizar es $$\left\{\begin{matrix}x=u+2\\y=v+2\end{matrix}\right.$$

Así, la ecuación diferencial original se transforma en la siguiente: $(u+2+v+2-4)\,d(u+2)+(u+2-(v+2))\,d(v+2)=0$, que, simplificada queda $$(u+v)\,du+(u-v)\,dv=0$$ ecuación cuyas funciones coeficientes $M(u,v)=u+v$ y $N(u,v)=u-v$ sí son homogéneas, por lo que podemos decir que la ecuación diferencial transformada mediante el cambio de variables que hemos realizado es una ecuación diferencial homogénea (en las variables $u$ Y $v$).

La principal dificutad ya está salvada. Procedamos ahora a resolver la ecuación así transformada, que podemos escribir de la forma:
  $\dfrac{dv}{du}=-\dfrac{u+v}{u-v}$
que, diviendo el numerador y el denominador del segundo miembro entre $u$ nos queda
  $\dfrac{dv}{du}=-\dfrac{1+v/u}{1-v/u}$
A continuación mediante otro cambio de variable, $w=v/u$, transformaremos la ecuación anterior en una ecuación diferencial en variables separables:
  $\dfrac{u\,dw+w\,du}{du}=-\dfrac{1+w}{1-w}$, y dividiendo el numerador y el denominador del primer miembro por $du$, puede escribirse de la forma
    $u\,\dfrac{dw}{du}+w=-\dfrac{1+w}{1-w}$
      $u\,\dfrac{dw}{du}=-\dfrac{1+w}{1-w}-w$
        $u\,\dfrac{dw}{du}=-\left(\dfrac{1+w}{1-w}+w\right)$
          $u\,\dfrac{dw}{du}=-\dfrac{w^2-2w-1}{w-1}$
            $\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=-\dfrac{du}{u}$
Ahora, integremos sendos miembros con respecto a las respectivas variables:
  $\displaystyle \int\,\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=\int\,-\dfrac{du}{u}$
    $\displaystyle \int\,\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2(w-1)}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
        $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2w-2}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
          $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{2w-2}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
            $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{d(w^2-2w-1)}{w^2-2w-1}=-\int\,\dfrac{du}{u}$
              $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+C_1=-\ln(|u|)+C_2$
                $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+\ln(|u|)=C_2-C_1$, siendo $C_2-C_1$ la (única) constante de integración, que denotamos por $C$:
                  $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+\ln(|u|)=C$
                    $\displaystyle \ln(|w^2-2w-1|)^{1/2}+\ln(|u|)=C$
                      $\displaystyle \ln(|u\cdot (w^2-2w-1)^{1/2}|)=C$
                        $\displaystyle \ln(|u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|)=C$, luego
                          $\displaystyle |u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|=e^C$
                            $\displaystyle \left(|u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|\right)^2=\left(e^C\right)^2$
                              $u^2\cdot (w^2-2w-1)=e^{2C}$
Por comodidad, denominemos $\widetilde{C}$ a la constante $e^{2C}$, y así, podemos escribir la solución general, en las variables $u$ y $v$ como:
$$u^2\cdot (w^2-2w-1)=\widetilde{C}$$ Hay que deshacer ahora los cambios de variable (recordemos que $w=v/u$), por lo que lo anterior queda:
  $u^2\cdot ((v/u)^2-2\,(v/u)-1)=\widetilde{C}$
    $u^2\cdot \dfrac{v^2-2\,uv-u^2}{u^2}=\widetilde{C}$
      $v^2-2\,uv-u^2=\widetilde{C}$
Y, finalmente, teniendo en cuenta que $u=x-2$ y $v=y-2$, llegamos a la solución general pedida: $$(y-2)^2-2\,(y-2)(x-2)-(x-2)^2=\widetilde{C}$$ esto es
  $-x^2+y^2+4x-2xy+2y-8=\widetilde{C}$
    $x^2-y^2-4x+2xy-2y+8=-\widetilde{C}$
      $x^2-y^2-4x+2xy-2y=-(\widetilde{C}+8)$
y agrupando $\widetilde{C}+8$ del segundo miembro en una única constante indeterminada (de integración), $k$:
$$x^2-y^2-4x+2xy-2y+k=0$$ ecuación que corresponde a una familia de cónicas. $\diamond$