ENUNCIADO. Se elige al azar un subconjunto de un conjunto $E$, siendo $\text{card}(E)=n$. Todos los subconjuntos de $E$ tienen la misma probabilidad de ser escogidos, así que éstos son los sucesos simples del espacio muestral $\Omega$ que entendemos como $\mathcal{P}(E)$. Hallar la probabilidad de que el subconjunto elegido contenga un determinado elemento de $E$. Calcular la probabilidad de obtener un subconjunto cuyo cardinal sea igual a $k \le n$
SOLUCIÓN. El número de subconjuntos ( sucesos simples ) a elegir es $\text{card}(\mathcal{P}(E)=2^n$. Veamos ahora de cuántas maneras es posible elegir un subconjunto que contenga un cierto elemento de $E$. Para ello es interesante que, primero, reduzcamos el tamaño del problema. Si $E$ contiene dos elementos, los subconjuntos de $E$ tales que contengan el elemento $a$ de $E$ son $\{a\}$ y $\{a,b\}$, habiendo pues $2$ subconjuntos. Aumentemos el número de elementos de $E$ a tres, $E=\{a,b,c\}$; los subconjuntos de $E$ que contienen el elemento $a$ de $E$ son $\{a\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$ y $\{a,b,c\}$, así pues vemos que hay $4=2^2$ subconjuntos. Si hacemos lo mismo en el caso que $E$ tenga un elemento más, $E=\{a,b,c,d\}$, encontramos $8=2^3$ subconjuntos: $\{a\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{a,d\}$, $\{a,b,c\}$, $\{a,c,d\}$, $\{a,b,d\}$ y $\{a,b,c,d\}$. Esto nos permite inducir que si $\text{card}(E)=5$, entonces el número de subconjuntos que contienen el elemento $a$ es $2^4=2^{5-1}$, etcétera. Por tanto concluimos que si $\text{card}(E)=n$, el número de subconjuntos que contienen un elemento determinado es $2^{n-1}$.
Otra forma de llegar a este resultado consiste en sumar las combinaciones para todos casos en los que aparece un cierto elemento, esto es, al tomar subconjuntos de $1,2,\ldots,n$ elementos de $E$; como siempre queda fijo de antemano dicho elemento tenemos $$1+\binom{n-1}{2-1}+\binom{n-1}{3-1}+\ldots+\binom{n-1}{(n-1)-1}+\binom{n-1}{n-1}=(1+1)^{n-1}$$
$=2^{n-1}$
Denotando por $A$ el suceso "elegir un subconjunto de $E$ que contenga un cierto elemento de $E$" y aplicando la regla de Laplace podemos escribir $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{2^{n-1}}{2^n}=\dfrac{1}{2}$$
Finalmente, pasemos a dar respuesta a la segunda pregunta. Como el número de subconjuntos de $k$ elementos que se pueden formar es igual a $\binom{n}{k}$ y hay un total de $2^n$ subconjuntos, otra vez, por la regla de Laplace, obtenemos que la probabilidad del suceso $B$ "elegir un subconjunto cuyo cardinal sea igual a $k \le n$" es $$P(B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(B)}{N}=\dfrac{\binom{n}{k}}{2^n}$$
$\square$
miércoles, 19 de octubre de 2016
lunes, 1 de octubre de 2012
La paralaje. Un método de medida indirecta de la distancia a objetos lejanos
| La paralaje es un método astronómico básico empleado desde la antigüedad para medir distancias entre astros/planetas. Y, por supuesto, también se puede utilizar en navegación, en la mar o en tierra, para hacer cálculos de medidas indirectas de objetos a partir de una distancia conocida y ángulos que podemos tomar con el sextante o bien con el compás de demoras, siempre y cuando, claro está, que el objeto observado esté lo suficientemente alejado del observador para que la aproximación del lado por la longitud de arco sea aceptable. El método de paralaje se basa en conceptos sencillos de geometría y proporcionalidad. Si queréis documentaros un poco más sobre la paralaje, os sugiero una lectura en este artículo de Wikipedia: [ http://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje ] Como aplicación práctica en navegación, si podemos medir ángulos (con compás de demoras) y disponemos, como dato, de alguna distancia conocida de partida, en principio también podemos medir la velocidad del observador en movimiento rectilíneo - de forma indirecta - ya que, conociendo el ritmo de variación del ángulo de paralaje en un corto intervalo de tiempo y teniendo información sobre el rumbo, solo queda por hacer un simple cálculo de proporcionalidad. Seria interesante comparar los resultados con los de la lectura de un radar, por ejemplo. Aunque, sin duda, obtengamos algo un poco tosco, sin mucha precisión, me parece interesante. |
Observant l'horitzó. Càlcul aproximat de la distància entre dos observadors situats en dos punts propers a la superfície de la Terra
Maria passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i Maria ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd.   que és igual a  Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó s  Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a 3670 km, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp":  Entrant a en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que  Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és la Maria (situada a la platja, dreta) i el segon observador l'imaginarem posat a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició de la Maria). Fem-ho: Distància entre el veler i la Maria: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó de la Maria i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba la Maria):   trobem que la distància aproximada entre el veler i la Maria és igual a  i aproximant a una xifra decimal:  Referències:
|
Apunt històric sobre la determinació de la latitud de l'observador per observació del pas del Sol pel meridià de l'observador
| Durant els segles XIV i XV ja se sabia determinar la latitud per l'observació del pas del Sol pel meridià del lloc ja que, segons aquest autor, els navegants ja disposaven de taules de navegació amb la informació suficient per fer aquesta determinació. Recordem que $\ell=d \pm (90-a)$, on $\ell$ és la latitud; $d$, la declinació del Sol, i $a$ l'altura vertadera del Sol en el moment de l'observació. |
Sobre la mesura històrica de l'arc de meridià Dunkerke-Barcelona
Estic llegint la història de la tasca que va realitzar Méchain per mesurar el tram de meridià de Paris a Barcelona entre finals de segle XVIII i començaments del s. XIX (Laborde es va fer càrrec de la mesura del tram de Dunkerke a Paris) fent ús del famós cercle de Borda, l'instrument de mesura més precís que es coneixia i que servia tant per fer mesures de triangulació geodèsica com per mesurar l'altura dels astres i determinar les coordenades geogràfiques de l'observador, molt més precís que un sextant. Com és ben sabut, aquests treballs van permetre l'establiment del metre patró. Als seus escrits esmenta tant a Salvà com a Martí i Franquès. És just fer homenatge d'aquestes persones que, sense cap mena de dubte, tingueren papers tan decisius en el desenvolupament de la ciència com d'altres molt més coneguts (Lavoisier,Laplace, Lagrange ...). Tots dos, Salvà i Martí i Franquès, el primer a Barcelona i el segon a Tarragona, van ajudar a Méchain i Tronchet (i al seu equip) durant la seva estada a Catalunya en unes circumstàncies de preguerra que feien molt perillosa la seva tasca. Certament, eren tots grans científics moguts per l'esperit de la il·lustració. Abans que es duguessin a terme les famoses mesures del meridià Dunkerke-Barcelona fent ús intensiu del mètode de les triangulacions geodèsiques (resolució d'un triangle a partir de les mesures de dos angles i un costat) realitzant nombroses mesures angulars preses amb el "cercle de Borda" (dit també "cercle repetidor", inventat pel matemàtic, astrònom i navegant Jean-Charles Borda, 1733-1799) - l'instrument de mesura més precís que fins aquell moment s'havia construït - en els punts propers, per cada costat, als del meridià, tot pujant als cims dels Pirineus, als turons més alts, i a les torres i campanars més elevats de les planures. Com és sabut, aquesta formidable empresa la dugueren a terme científics com Pierre Méchain, Jean Delambre, François Arago, Jean Biot, Jean-Charles Borda ... just en el període de temps que comença amb la revolució francesa i s'esten fins el final de les guerres napoleòniques; aquestes mesures geodèsiques van permetre l'establiment del metre patró. Dos instruments que van suposar notables avenços en les mesures geodèsiques i astronòmiques van ser el cercle de reflexió (Tobias Mayer, 1752) i el cercle repetidor (Etienne Lenoir, 1784). Aquest instrument (cercle de reflexíó-cercle repetidor) va ser perfeccionat notablement més tard per Jean-Charles chevalier de Borda (1733-1799) - matemàtic, enginyer, físic, navegant, astrònom, i polític - el qual col·laborà amb els astrònoms Méchain i Delambre en les campanyes de mesura de l'arc de meridià Dunkerke-Barcelona que van permetre establir el metre patró. L'instrument de Borda va passar a ser conegut amb el nom de cercle repetidor de Borda.  |
meridiana
| Preparació de l'observació A partir de la situació estimada, disposats a observar el Sol al seu pas pel meridià del lloc, ens cal conèixer l'hora del rellotge de bitàcola a la qual tindrà lloc l'esdeveniment. Per això, entrarem a l'Almanac de l'any i consultem a quina hora passa el Sol pel meridià de Greenwich (hora en aquest meridià); això ve resenyant a l'Almanac amb les sigles PMG ("pas pel meridià de Greenwich"). Tindrem ben present que aquest hora és l'hora civil del meridià de Greenwich en el moment del pas del Sol pel meridià superior de Greenwich. 1. Comencem, doncs, calculant l'HcG (TU) del pas del Sol pel nostre meridià (meridià de l'observador) a partir del PMG: HcG p.s.m.s.l = PMG + L/15; on L/15 es la longitud de la posició de l'observador expressada en temps. 2. Tot seguit, ens cal calcular l'hora legal o hora del rellotge de bitàcola Hz de l'observador en el moment del pas del Sol pel seu meridià. Per això, ens cal conèixer el número de fus horari Z, el qual calculem a partir de la longitud estimada Z és igual al major enter més proper a la quantitat (L-7.5)/15 amb el signe que correspongui (positiu si ens trobem a l'Est del meridià de Greenwich, i negatiu en cas contrari). Hz p.s.m.s.l = HcG p.s.m.s.l + Z Coneguda aquest hora, ens podem preparar amb temps suficient per estar a punt per fer les mesures d'observació del Sol en el moment de la seva culminació al seu pas pel meridià del lloc. Determinació de la latitud del lloc Per determinar la latitud, en aquest cas, ens estem referint a l'observació del Sol, però notem que el procediment de càlcul és el mateix que cal fer servir a l'hora d'observar el pas pel meridià del lloc de qualsevol astre. En general, podrem observar l'astre passant pel meridià superior (angle horari local de l'astre igual a zero), o bé, passant pel meridià inferior (angle horari local de l'astre igual a 180º). En punts d'observació de latituds no molt elevades, el Sol sempre culmina passant pel meridià superior (angle horari de Sol igual a zero). Segons l'època de l'any, al seu pas pel meridià del lloc de l'observador, el Sol pot demorar al Nord o bé al Sud; és a dir, podem observar el Sol en la seva culminació cara al Nord, o bé cara al Sud. Tot això queda ben clar si ens entretenim a traçar un esquema gràfic on aparegui l'Equador celest, l'horitzó de l'observador, el Sol/astre i el Zenit. Fent la suma d'angles amb la figura al davant quedarà clar que la latitud l ha de ser igual a d + z si el Sol demora al Sud (l=d+z), i a d -z (l=d-z) si aquest demora al Nord (l=d-z), on z és igual a 90º-a (a és l'altura del Sol en la seva culminació mesurada amb el sextant). No cal dir que la declinació d del Sol la treuerem de l'Almanac, entrant amb l'hora i la data. Determinació de la longitud Podem determinar la longitud del lloc d'observació prenent una sèrie mesures simètriques de l'altura amb l'hora TU (hora al meridià de Greenwich) corresponent a cada una. El temps el prenem amb el cronòmetre. Un simple rellotge digital farà el fet; això sí, cal que estigui ben ajustat a l'hora TU que podem consultar a internet abans de sortir de casa. Per això cal estar preparats el temps que calgui abans que el Sol passi pel meridià del lloc. Abans que culmini, haurem mesurat almenys dues altures amb els corresponents temps TU: (a1,HTU1) i (a2,HTU2) que anirem apuntant a la llibreta. El Sol culminarà i efectuarem la mesura de l'altura i el temps en la culminació (ac,HTUc). I, tot seguit, en començar aquest a descendre - atenció que ho fa molt de pressa ! - esperarem a que atenyi l'altura a2 per mesurar el temps simètric corresponent HTU'2. Farem el mateix quan atenyi l'altura a1, prenent nota del temps simètric HTU'1. Fet això, haurem acabat la feina de mesura. A continuació baixarem a la taula de derrota i, còmodament, farem els càlculs. Com que el Sol ha seguit un camí prou simètric en l'ascens i el posterior descens, obtindrem l'hora de culminació calculant la semisuma de cada parell de temps simètrics (corresponents a una mateixa altura), farem una mitjana aritmètica de tots dos i el resultat no ha de ser molt diferent de l'obtingut en la mesura central HTUc. A més, si aquesta, l'haguéssim perdut o bé no fos prou fiable, sempre en tindrem dues que s'hi aproparan. Si tots tres temps són força semblants, ens quedarem amb la mitjana aritmètica de tots tres: l'HTU del pas del Sol pel meridià superior del lloc. Hem de tenir en compte, però, que si el vaixell es troba en navegació - tal i com és d'esperar en una situació normal -, i atès el ràpid moviment del Sol al seu pas per la meridiana, que aquesta manera de determinar la longitud dóna una precisió molt per sota de la que tenim quan ens situem intersectant dues rectes d'altura. No obstant això, ja que observem el Sol al pas per la meridiana per determinar la latitud, per què no aprofitar les mesures per obtenir també la longitud, encara que no tingui molta precisió ... Bé, doncs, ja hem acabat. Amb l'HTU del p/S m.s.l entrem a les taules de l'Almanac i consultem l'angle horari del Sol en Greenwich (hG) a partir de l'hora i la data, corregint per minuts i segons a les taules de correccions. Aquest angle hG del Sol es correspon directament amb la nostra longitud si ens trobem a l'Oest del meridià de Greenwich; si, per contra, ens trobem a l'Est del m. de Greenwich, caldrà que restem de 360º, ja que la longitud es mesura de 0º a 180º (vers l'Est o l'Oest), mentre que l'angle horari es mesura de 0º a 360º. Cal també tenir en compte que no sempre és possible situar-nos d'aquesta manera. És clar que si el cel està total o parcialment ennuvolat no podrem caçar i "fer baixar" el Sol en el curt interval de temps que dura el pas del Sol pel meridià local. |
Suscribirse a:
Entradas (Atom)