Distancia euclídea entre dos puntos de un espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$

La distancia entre dos puntos cualesquiera, $P$ y $Q$, de un espacio euclídeo se define de la siguiente manera: $$\text{distancia}(P,Q)=\text{distancia}(Q,P)=\left\| \overset{\rightarrow}{PQ} \right\|=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{PQ}\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle}=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{QP}\,,\,\overset{\rightarrow}{QP} \rangle}$$ donde $\langle\,,.,\,\rangle$ designa un producto escalar euclídeo. $\diamond$

Distancia euclídea entre dos rectas que se cruzan

Consideremos dos rectas, $r_1:(P,\vec{u})$ y $r_2:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$, y, por tanto, sus ecuaciones en forma continua son: $$r_1:\dfrac{x-x_P}{u_1}=\dfrac{y-y_P}{u_2}=\dfrac{z-z_P}{u_3}$$ $$r_2:\dfrac{x-x_Q}{v_1}=\dfrac{y-y_Q}{v_2}=\dfrac{z-z_Q}{v_3}$$ de tal manera que se crucen (no se cortan), esto es, $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$. En estas condiciones, queremos calcular la distancia entre las dos rectas, $\text{distancia}(r_1,r_2)$. Entonces, podemos empezar encontrando un plano $\pi$ que contenga a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, para, a continuación, obtener el vector normal unitario al mismo, $\vec{n}_1$. Finalmente, encontraremos dicha distancia con ayuda del producto escalar euclídeo: $$\text{distancia}(r_1,r_2)=\langle \vec{n}_1\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle$$

---

Veamos ahora los pormenores del procedimiento. Para calcular un vector normal a $\pi$, podemos hacerlo de dos maneras:

1. Mediante el producto vectorial: $\vec{n}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$, donde $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0),\hat{j}=(0,1,0),\hat{k}=(0,0,1) \}$ es la base canónica del espacio $\mathbb{R}^3$
2. Obteniendo la ecuación del plano $\sigma=(Q,\vec{u},\vec{v})$ -o, también, si se prefiere, del plano $\sigma'=((P,\vec{u},\vec{v})$-, uno u otro nos vale. Así, como ya sabemos, $$\sigma:\begin{vmatrix}u_1&v_1&x-x_P\\u_2&v_2&y-y_P\\ u_3&v_3&z-z_P\end{vmatrix}=0$$ con lo cual, desarrollando el determinante, llegaremos a la ecuación implícita del plano $$\sigma:\,Ax+By+Cz+D=0$$ por lo que sabremos que un vector normal a $\sigma$ es $\vec{n}=(A,B,C)$

Luego, toda vez hayamos obtenido un vector $\vec{n}$ normal al plano $\sigma$, el correspondiente vector normal unitario será $\vec{n}_1=\dfrac{\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}$

$\diamond$

Incidencias de una recta y un plano en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$ que intersecan, determinando una recta $r$. Consideremos también otro plano distinto de $\pi$ y de $\pi'$: $\pi'':A''x+B''y+C''z+D''=0$ El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ A''x+B''y+C''z+D''=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\A''&B''&C''\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\\D''\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\ A''&B''&C''\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\\ A''&B''&C''&D''\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=3$, la recta $r$ corta a $\pi''$; la solución del sistema es el punto de intersección.
• Si $\text{rango}(M)=2$ y $\text{rango}(\tilde{M})=3$, el sistema es incompatible, luego $r$ y $\pi''$ no tienen puntos en común; esto es, la recta $r$ y el plano $\pi''$ son paralelos
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, el vector normal a $\pi''$: $\vec{n}_{\pi''}=(A'',B'',C'')$ es combinación lineal de los respectivos vectores normales a $\pi$ y $\pi'$: $(A,B,C)$ y $(A',B',C')$, esto es, $(A'',B'',C'')=\alpha\,(A,B,C)+\beta\,(A',B',C')$;$\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, luego en esta situación tenemos un haz de planos cuya arista es la recta $r$

$\diamond$

Incidencia de rectas en $\mathbb{R}^3$

Sean dos rectas, $r:(P,\vec{u})$ y $s:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$. Entonces:

• $r= s \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=1$
• $r \parallel s\, (\text{siendo}, r\neq s) \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=1$ y $\text{rango}(\vec{u},\overset{\rightarrow}{PQ})=2=\text{rango}(\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})$
• $r$ y $s$ se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=\text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=2$
• $r$ y $s$ se cruzan pero no se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$

$\diamond$

Incidencias de dos planos en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$. El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-2=1$, luego corresponde a una recta; esto es, los dos planos se intersecan en una recta.
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos intersecándose en una misma recta, hablamos de un haz de planos concurrentes. Pongamos que dos planos cualesquiera de dicho haz sean $\pi_1:\,A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1=0$ y $\pi_2:\,A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2=0$, entonces la ecuación de dicho haz viene dada por $\alpha\,(A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1)+\beta\,(A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2)=0\;\forall\,\alpha\,,\,\beta \in \mathbb{R}$
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=1$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-1=2$, luego corresponde a un plano, al mismo plano que uno y otro; esto es, los dos planos son coincidentes
  • Nota: Veámoslo desde otro punto de vista: Consideremos dos planos cuyas determinaciones -dadas por un punto y dos vectores coplanarios independientes- respectivas sean $\sigma_1:(P_1,\vec{u}_1,\vec{v}_1)$ y $\sigma_2:(P_2,\vec{u}_2,\vec{v}_2)$, entonces $\sigma_1=\sigma_2$ si y sólo si existen escalares $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{R}$ tales que $$\left\{\begin{matrix}\vec{u}_1=a\,\vec{u}_2+b\,\vec{v}_2 \\ \vec{v}_1=c\,\vec{u}_2+d\,\vec{v}_2\\ \overset{\rightarrow}{P_1\,P_2}=e\,\vec{u}_2+f\,\vec{v}_2\end{matrix}\right. $$
• Si $\text{rango}(M)=1$ y $\text{rango}(\tilde{M})=2$, el sistema es incompatible (teorea de Rouché-Fröbenius), esto es, no tiene solución; luego esta situación corresponde a dos planos paralelos no coincidentes
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos paralelos, hablamos de un haz de planos paralelos. Pongamos que uno esos planos sea, por ejemplo, $\pi:\,A\,x+B\,y+C\,z+D_1=0$, entonces la ecuación de dicho haz de planos paralelos viene dada por $A\,x+B\,y+C\,z+\lambda=0\;\forall\,\lambda\,\in \mathbb{R}$

$\diamond$

Ecuación implícita de un plano

Sea $\pi$ un plano del espacio afín $\mathbb{R}^3$ que viene determinado por un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ y dos vectores contenidos independientes en el plano $\pi$: $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Veamos cómo deducir las ecución vectorial, las ecuaciones cartesianas, y la ecuación implícita de dicho plano.

Consideremos un punto $X(x,y,t)$ genérico de $\pi$, entonces podemos encontrar dos escalares $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OP}=\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$, que es la ecuación vectorial del plano, siendo $O$ el origen del sistema de referencia afín. Esto es, $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$; y, de ahí, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de $\pi$: $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\alpha\,u_1+\beta\,v_1 \\ y=y_P+\alpha\,u_2+\beta\,v_2 \\ z=z_P+\alpha\,u_3+\beta\,v_3\end{matrix}\right.$$

A partir de aquí, deduciremos la ecuación del plano en forma implícita: Teniendo en cuenta que el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}\alpha\,u_1+\beta\,v_1 = x-x_P\\ \alpha\,u_2+\beta\,v_2 =y-y_P\\ \alpha\,u_3+\beta\,v_3=z-z_P\end{matrix}\right.$$ con incógnitas, $\alpha$ y $\beta$, es compatible y determinado deberá cumplirse (teorema de Rouché-Fröbenius) la igualdad de rangos entre la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: $$\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\u_3 & v_3\end{pmatrix}=\text{rango}\left(\begin{array}{cc|c}u_1 & v_1 & x-x_P\\u_2 & v_2 & y-y_P\\u_3 & v_3 & z-z_P\end{array}\right)=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-x_P \\ u_2 & v_2 & y-y_P \\u_3 & v_3 & z-z_P\end{vmatrix}=0$$ y, desarrollando el determinante por los elementos de la tercera columna, se obtiene: $$\begin{vmatrix}u_2&v_2\\u_3&v_3\end{vmatrix}\,(x-x_P)+(-1)\cdot \begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_3&v_3\end{vmatrix}\,(y-y_P)+\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}\,(z-z_P)=0$$ Denotando (por comodidad) $A=\begin{vmatrix}u_2&v_2\\u_3&v_3\end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_3&v_3\end{vmatrix}$ y $C=\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}$,
$$A\,(x-x_P)+B\,(y-y_P)+C\,(z-z_P)=0$$ o lo que es lo mismo: $$A\,x+B\,y+C\,z+\left(-A\,x_P-B\,y_P-C\,z_P \right)=0$$ y denotando $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$, llegamos a la ecuación del plano en forma implícita:
$$\pi:\,A\,x+B\,y+C\,z+D=0 \quad (1)$$

-oOo-

Sea ahora $\pi$ un plano del espacio afín $\mathbb{R}^3$ que viene determinado por tres puntos del mismo $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ y $R(x_R,y_R,z_R)$ :

Consideremos, como en el caso anterior, un punto $X(x,y,t)$ genérico de $\pi$, entonces podemos encontrar dos escalares $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\alpha\,\overset{\rightarrow}{PQ}+\beta\,\overset{\rightarrow}{PR}$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OP}=\alpha\,\overset{\rightarrow}{PQ}+\beta\,\overset{\rightarrow}{PR}$, que es la ecuación vectorial del plano, siendo $O$ el origen del sistema de referencia afín. De ahí, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de $\pi$: $$\left\{\begin{matrix}x-x_P=\alpha\,(x_Q-x_P)+\beta\,(x_R-x_P) \\ y-y_P=\alpha\,(y_Q-y_P)+\beta\,(y_Q-y_P) \\ z-z_P=\alpha\,(z_Q-z_P)+\beta\,(z_R-z_P)\end{matrix}\right.$$

Entendiendo lo anterior como un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son $\alpha$ y $\beta$: $$\left\{\begin{matrix}\alpha\,(x_Q-x_P)+\beta\,(x_R-x_P)=x-x_P \\ \alpha\,(y_Q-y_P)+\beta\,(y_Q-y_P)=y-y_P \\ \alpha\,(z_Q-z_P)+\beta\,(z_R-z_P)=z-z_P\end{matrix}\right.$$

A partir de aquí, deduciremos la ecuación del plano en forma implícita, teniendo en cuenta que el sistema de ecuaciones lineales, con incógnitas, $\alpha$ y $\beta$, es compatible y determinado deberá cumplirse (teorema de Rouché-Fröbenius) la igualdad de rangos entre la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
$\text{rango}\begin{pmatrix}x_Q-x_P & x_R-x_P\\ y_Q-y_P & y_R-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P\end{pmatrix}=\text{rango}\left(\begin{array}{cc|c}x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P\end{array}\right)=2 \Leftrightarrow$ $$\begin{vmatrix}x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P\end{vmatrix}=0 \quad (2)$$ que nos lleva a la misma ecuación que la descrita en (1): $$Ax+By+Cz+D=0$$ En algunos libros, podemos ver la ecuación (2), que como se acaba de notar es lo mismo que (1), escrita de manera equivalente como el determinante de orden $4$:
$\begin{vmatrix}1&0&0&0\\x_P&x_Q-x_P & x_R-x_P & x-x_P\\y_P& y_Q-y_P & y_R-y_P & y-y_P\\ z_P & z_Q-z_P & z_R-z_P & z-z_P \end{vmatrix}\overset{c_1+c_2\rightarrow\,c_2\\c_1+c_3\rightarrow\,c_3\\c_1+c_4\rightarrow\,c_4 }{=}$
$$\pi:\,\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_P&x_Q&x_R&x \\y_P&y_Q&y_R&y\\z_P&z_Q&z_R&z \end{vmatrix}=0$$

-***-

Observación:
Acabamos de ver el procedimiento para obtener la ecuación implícita (y también la vectorial) de un plano determinado por un punto del mismo, $P$, y dos vectores independientes del mismo, $\vec{u}$ y $\vec{v}$, determinación que podemos notar de la forma $\pi:(P,\vec{u},\vec{v})$. Sin embargo, en algunas ocasiones, quizá tengamos como datos una información equivalente, como, por ejemplo, un vector del plano: i) tres puntos del mismo, ii) un vector y dos puntos, iii) una recta del plano -determinada por un punto de la misma y un vector director de la misma- y un punto, también del plano, exterior a la recta. En cualquiera de los casos, podemos reducirlo a lo expuesto en este artículo (un punto y dos vectores). Veamos cómo hacerlo, pongamos que en el caso (iii):

Consideremos una recta de dicho plano $\pi$ determinada por un vector director y un punto $R$ de la misma $r_{\pi}:(\vec{w}_r,R)$; y, además, un punto $S$ de $\pi$ exterior a $r_{\pi}$. Pues bien, entonces, una determinación de con dos vectores y un punto del mismo es $\pi:(R,\vec{w},\overset{\rightarrow}{RS})$, y, a partir de ella, ya podemos proceder tal como se ha explicado.

$\diamond$

Ecuación de una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ en forma continua

Sea $r$ una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ determinada por un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ y un vector $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Vamos a deducir la ecuación de dicha recta en forma continua

Consideremos un punto $X(x,y,t)$ genérico de $r$, entonces $$\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1 &x-x_P \\ v_2 &y-y_P \\ v_3 &z-z_P \end{pmatrix}=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{vmatrix}v_1 & x-x_P \\ v_2 & y -y_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2} \\ \\ \begin{vmatrix}v_2 & y-y_P \\ v_3 & z -z_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{y-y_P}{v_1} = \dfrac{z-z_P}{v_3} \end{matrix}\right.$$ pudiendo escribir por tanto la ecuación (en forma continua) de la recta como $$r:\,\dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ $\diamond$