Se pide que calculemos $A^{20}$, siendo $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$
Método I:
Si calculamos las primeras potencias encontramos:
- $A^1$ puede expresarse de la forma $A^1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^0&2^0\\0&2^0&2^0\end{pmatrix}$
- $A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^1&2^1\\0&2^1&2^1\end{pmatrix}$
- $A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^2&2^2\\0&2^2&2^2\end{pmatrix}$
- $A^4=A^3\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^3&2^3\\0&2^3&2^3\end{pmatrix}$
- $A^5=A^4\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^4&2^4\\0&2^4&2^4\end{pmatrix}$
- $\ldots$
Luego, se induce claramente el siguiente resultado: $$A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n-1}&2^{n-1}\\0&2^{n-1}&2^{n-1}\end{pmatrix}$$ y, en consecuencia:
$$A^{20}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{19}&2^{19}\\0&2^{19}&2^{19}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&524\,288&524\,288\\0&524\,288&524\,288 \end{pmatrix}$$
Método II:
Si, calculando la matriz canónica de $A$, ocurre que dicha matriz es diagonal, $D$, entonces sabemos que $A^n=P\,D^n\,P^{-1} \quad \quad (1)$, donde $P$ es la matriz del cambio de base y $$D^n=\begin{pmatrix}\lambda_{1}^{n}&0&0 \\ 0& \lambda_{2}^{n}&0\\ 0&0&\lambda_{3}^{n}\end{pmatrix}$$
Veamos pues si la matriz dada puede diagonalizarse:
Empecemos calculando los valores propios de $A$ y sus multiplicidades,
$$\begin{vmatrix}1-\lambda&0&0\\0&1-\lambda &1\\0&1&1-\lambda\end{vmatrix}=0 $$ de donde
nos encontramos con tres valores propios distintos (y por tanto con multiplicada igual a uno para cada uno de ellos): $\lambda_1=0$, $\lambda_2=1$ y $\lambda_3=2$, con lo cual la matriz sí es diagonalizable, siendo ésta $$D=\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0& 1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}$$ y por tanto $$D^{20}=\begin{pmatrix}0^{19}&0&0 \\ 0& 1^{19}&0\\ 0&0&2^{19}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0& 1&0\\ 0&0&524\,288\end{pmatrix}\quad \quad (2)$$
Vamos a calcular ahora la matriz de paso de la base canónica (con respecto de la cual viene referida la matriz $A$) a la nueva base, con respecto de la cual la matriz del endomorfismo, $f:E\rightarrow E$, se expresa como la matriz diagonal que acabamos de encontrar.
Para ello debemos encontrar una base para cada uno de los subespacios propios, $E(0):=\text{ker}(f-0\,I)$, $E(1):=\text{ker}(f-1\,I)$ y $E(2):=\text{ker}(f-2\,I)$, cuya suma directa es el espacio total, $E=E_1(0)\bigoplus E_2(1) \bigoplus E_3(2)$
Entonces,para $E_1(0)$:
$$\left( \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} - 0\,\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \right)\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
es decir
$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} \,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=0\\ x_3=-x_2\end{matrix}\right.$$
por lo que,$E_1(0)=\{(0,x_2,-x_2)\,\forall x_2\in \mathbb{R}\}$ y, tomando (por ejemplo) $x_2=1$, una base válida para este subespacio es $\{(0,1,-1)\}$, luego $E_1(0)=\langle (0,1,-1)\rangle$
Para $E_2(1)$:
$$\left( \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} - 1\,\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \right)\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
es decir,
$$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} \,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_3=x_2=0\end{matrix}\right.$$
por lo que,$E_2(1)=\{(x_1,0,0)\,\forall x_1\in \mathbb{R}\}$ y, tomando (por ejemplo) $x_1=1$, una base válida para este subespacio es $\{(1,0,0)\}$, luego $E_2(1)=\langle (1,0,0)\rangle$
Y para $E_2(2)$:
$$\left( \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} -2\, \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \right)\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
es decir,
$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix} \,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=0\\ x_3=x_2\end{matrix}\right.$$
por lo que,$E_2(2)=\{(0,x_2,x_2)\,\forall x_2\in \mathbb{R}\}$ y, tomando (por ejemplo) $x_2=1$, una base válida para este subespacio es $\{(0,1,1)\}$, luego $E_2(2)=\langle (0,1,1)\rangle$
Así pues, disponiendo las coordenadas de los vectores propios por columnas y por orden, la matriz del cambio de base es $$P=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}$$
y calculando su matriz inversa, encontramos
$$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1/2&-1/2\\ 1&0&0\\ 0&1/2&1/2\end{pmatrix}$$
Luego, de acuerdo con $(1)$ y con el resultado $(2)$
$A^{20}=P\,D^{20}\,P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0& 1&0\\ 0&0&524\,288\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1/2&-1/2\\ 1&0&0\\ 0&1/2&1/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&524\,288&524\,288\\0&524\,288&524\,288 \end{pmatrix}$ (como era de esperar, según hemos visto empleando el método I). $\diamond$
