Un ejercicio en el que se aplica la sobre un parámetro para que un conjunto de tres vectores dados, y que dependen de dicho parámetro, forme una base de $\mathbb{R}^3$

¿Para qué valores del parámetro real $a$, el conjunto de vectores $\{(\alpha,0,1),(0,1,1),(2,-1,\alpha)\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$?

Como la dimensión del espacio vectorial es $3$ se necesitan exactamente tres vectores linealmente independientes para formar una base. Veamos si estos tres candidatos cumplen esta condición, lo cual es equivalente a decir que la combinación lineal para describir el vector nulo, $a\,(\alpha,0,1)+b\,(0,1,1)+c\,(2,-1,\alpha)=(0,0,0) \quad (1)$, ha de ser tal que los coeficientes $a,b$ y $c$ sean los tres igual a cero.

De $(1)$ puede escribirse el siguiente sistema homogéneo: $$\left\{\begin{matrix}\alpha \, a+2\,c=0\\b-c=0\\a+b+\alpha\,c=0\end{matrix}\right.$$

La matriz de los coeficientes es $\begin{pmatrix}\alpha&0&2\\0&1&-1\\1&1&\alpha\end{pmatrix}$ y la matriz ampliada es $\begin{pmatrix} \alpha & 0 & 2 & 0\\ 0 &1&-1&0 \\ 1&1&\alpha&0 \end{pmatrix}$

Para que $a=b=c=0$ (solución única), el sistema homogéneo tendrá que ser compatible determinado, y siendo el número de incógnitas igual a $3$, el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a $3$ (éste será también el rango de la matriz amplicada, por ser la última columna nula); y, para ello, el determinante de la matriz ampliada tendrá que ser distinto de cero: $$\begin{vmatrix}\alpha&0&2\\0&1&-1\\1&1&\alpha\end{vmatrix}\neq 0 \Leftrightarrow \alpha^2+\alpha-2 \neq 0 \, \Leftrightarrow \alpha \not \in \{1\,,-2\}$$

$\diamond$

La derivación de polinomios como aplicación lineal

Acerca de la aplicación lineal derivación de polinomios de grado $3$ $$\mathcal{D}:P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x] \rightarrow P_{\mathbb{R}}^{(2)}[x]$$, ¿cuál es la matriz asociada a dicha aplicación lineal con respecto a las bases canónicas respectivas de los espacios de partida y de llegada?

Con respecto a las bases canónicas $\{1,x,x^2,x^3\}$ del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ (de dimensión igual a $4$), y $\{1,x,x^2\}$ del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(2)}[x]$ (de dimensión igual a $3$), se tiene que $$\left\{\begin{matrix}\mathcal{D}(1)=0\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x)=1\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x^2)=0\,\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x^3)=0\,\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2 \end{matrix}\right.$$ es decir, $$\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2x\\3x^2\\\end{pmatrix} $$ luego la matriz asociada a la aplicación lineal es $D=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3\times 4}(\mathbb{R})$

-oOo-

Redefinamos un poco esta aplicación lineal. Consideremos ahora la operación derivación de polinomios como el endomorfismo $$\mathcal{D}:P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x] \rightarrow P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$$ Me propongo demostrar que el conjunto de polinomios de grado $0$ constituye el núcleo de dicho endomorfismo

Con respecto a las base canónica $\{1,x,x^2,x^3\}$ del espacio vectorial de partida y de llegada $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ (de dimensión igual a $4$) se tiene que $$\left\{\begin{matrix}\mathcal{D}(1)=0\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x)=1\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x^2)=0\,\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x^3)=0\,\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2+0\cdot x^3 \end{matrix}\right.$$ es decir, $$\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2x\\3x^2\\\end{pmatrix} $$ luego, así las cosas, la matriz asociada a la aplicación lineal es $$D=\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})$$

Veamos quien es el núcleo del endomorfismo, que, como es sabido, representa el conjunto de elementos del espacio vectorial que son enviados cuya imagen es el elemento cero: $$\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

El rango de la matriz de los coeficientes es $3$, luego $\text{dim}(\text{Ker}(\mathcal{D}))=\text{dim}(P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x])-\text{rango}(D)=4-3=1$. Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos fácilmente $x_1=x_2=x_3=0$, quedando $\lambda:=x_4$ como el correspondiente parámetro libre; por consiguiente, las bases del núcleo del endomorfismo (subespacio vectorial del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$) son del tipo $ (0,0,0,\alpha) \,\forall \alpha \in \mathbb{R}$, con las cuales es evidente que con ellas sólo pueden describirse los polinomios de grado cero. Es decir, el conjunto de polinomios de grado cero (los números reales) constituyen el núcleo del endomorfismo derivación de polinomios (de $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ en si mismo). Por supuesto, y generalizando, podemos decir lo mismo para la derivación en el espacio de polinomios de grado arbitrario $n$.

-oOo-

Observación:
Observemos que la matriz de este endomorfismo, $\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix}$, no es diagonalizable al no cumplirse la condición necesaria y suficiente; en efecto, si calculamos los valores propios, solamente encontramos uno: $\lambda=0$ $$P(\lambda):=\begin{vmatrix}0-\lambda&0&0&0 \\ 1&0-\lambda&0&0 \\ 0&2&0-\lambda&0 \\ 0&0&3&-\lambda\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \lambda=0$$ con lo cual, el polinomio característico se escribe de la forma $P(\lambda)=\lambda^4$, siendo por tanto su multiplicidad igual a $m=4\neq \text{dim}(\text{Ker}(\mathcal{D}))=1$

$\diamond$

Una base del espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$

Se considera el espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}$. ¿Es el siguiente conjunto de matrices una base de dicho espacio vectorial? $$\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\right\}$$

La dimensión del espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}$ es $2\cdot 2=4$, luego todo sistema de generadores ha de tener al menos $4$ vectores linealmente independientes; y, como toda base es un sistema de generadores mínimo, el conjunto propuesto es candidato a ser una base. Veamos si los elementos dados son linealmente independientes. Para ello, sabemos que una combinación lineal de los mismos que exprese el elemento nulo. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$, debe ser tal que los coeficientes de dicha combinación lineal, $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ sean todos nulos. Planteemoslo:

$$a\,\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}+b\,\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}+c\,\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+d\,\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} $$ luego el sistema de ecuaciones lineales asociado es un sistema homogéneo, $$\left\{\begin{matrix}a+c+d=0\\b+c+d=0\\a+b+d=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.$$ La matriz de los coeficientes es $$A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ y la matriz ampliada, $$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) $$ Al ser nulos los elementos de la quinta columna, es claro que $\text{rango}(\tilde{A})=\text{rango}{A}\le 4$; y, por otra parte, se puede comprobar que $\text{det}(A)\neq 0$, luego $\text{rango}(\tilde{A})=\text{rango}{A} = 4$, que es igual al número de incógnitas ($n=4$), por consiguiente, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado (solución única), y, siendo homogéneo, ésta es $a=b=c=d=0$. En consecuencia, los cuatro elementos propuestos del sistema de generadores son linealmente independientes, y siendo éste mínimo (el número de los mismos es igual a la dimensión del espacio vectorial), constituyen una base del mismo.

$\diamond$

Un ejercicio para determinar una base del núcleo de una aplicación lineal dada

Se considera el endomorfismo $f:V_3(\mathbb{R})\rightarrow V_2(\mathbb{R});\,(x_1,x_2,x_3)^\top \mapsto (x_1+x_2+x_3,x_1+x_2)^\top$. Me propongo encontrar una base del núcleo de la aplicación lineal, $\text{Ker}(f)$

Veamos cuál es la matriz asociada $A$ a $f$: Como $\left\{\begin{matrix}f(x_1)&=&x_1+x_2+x_3\\f(x_2)&=&x_1+x_2\end{matrix}\right.$, se tiene que $A_{2\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$. Es claro que $\text{rango}(A)=2$, pues podemos encontrar menores complementarios de orden $2$ distintos de cero, luego como $\text{dim}(V_3)=\text{rango}(A)+\text{dim}(\text{Ker}(f))$, vemos que $3=2+\text{dim}(\text{Ker}(f))$ y por tanto, $\text{dim}(\text{Ker}(f))=3-2=1$; así que una base de $\text{Ker}(f)$ estará formada por un sólo vector.

Encontremos uno, teniendo en cuenta que todo vector del núcleo tiene el vector $\vec{0}_{V_2}$: $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&x_1+x_2+x_3\\0&=&x_1+x_2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}0&=&x_1+x_2+x_3\\0&=&x_3=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \lambda:=x_1=-x_2$$ en consecuencia, tomando (pongamos que) $\lambda=1$, un vector válido es $(1,-1,0)$, luego podemos escribir que $\text{Ker}(f)=\langle (1,-1,0)\rangle$

$\diamond$

EDO asociada a la familia de rectas del plano cuya distancia al origen de coordenadas es igual a la unidad

¿Cuál es la EDO asociada a la familia de rectas del plano tal que para cada una de ellas la distancia al origen de coordenadas $O$ sea igual a la unidad?

Sea una de dichas rectas, cuya ecuación en forma implícita puede escribirse de la forma $r:ax+by+c=0\quad (1)$. Entonces, $\text{distancia}(r,O(0,0)):=\dfrac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=-\dfrac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}=1 \quad (2)$

Ahora bien, $a$ y $b$ están relacionados con la pendiente de la recta, $m$; en efecto, si escribimos la ecuación de $r$ en forma explícita, tenemos que $r:y=m\,x+k$, pero de $(1)$, $\dfrac{a}{b}\,x+y=-\dfrac{c}{a}$, luego $y=-\dfrac{a}{b}\,x-\dfrac{c}{a}$, y por tanto se tiene que $m=-\dfrac{a}{b}$, con lo cual $a=-m\,b$; por consiguiente, $(2)$ puede escribir de la forma: $$\dfrac{(-mb)\,x+b\,y}{\sqrt{(-mb)^2+b^2}}=1$$ o lo que es lo mismo (simplificando), $$y-m\,x-\sqrt{1+m^2}=0 \quad (3)$$ Con lo cual, la solución general depende de un sólo parámetro (como era de esperar), $m$, y por tanto la EDO que buscamos ha de ser de primer orden.

Derivando $(3)$ con respecto de $x$ podremos despejar dicho parámetro y sustituirlo después para encontrar la ecuación diferencial pedida:
$$y'-m=0 \Rightarrow m=y'$$ con lo cual $(3)$ se reescribe de la forma $$y-x\,y'-\sqrt{1+(y')^2}=0$$ es decir $$y-x\,y'=\sqrt{1+(y')^2}$$ elevando al cuadrado en ambos miembros, $$(y-x\,y')^2=1+(y')^2$$ y, desarrollando el binomio al cuadrado del segundo miembro, y agrupando términos: $$(1-x)^2\,(y')^2+2xy\,y'-y^2+1=0$$

$\diamond$

EDO asociada a la familia de circunferencias de radio $2$, centradas en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes

Consideremos la familia de circunferencia de radio igual a $2$ cuyos centros se encuentran sobre la bisectriz del primer y tercer cuadrantes del plano. ¿Cuál es la EDO asociada?

La ecuación de una de estas circunferencias, de centro $A(x_\alpha,y_\alpha)$, es $(x-x_\alpha)^2+(y-y_\alpha)^2=2^2$. Ahora bien, al estar $C$ en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, $\alpha_x=\alpha_y$, con lo cual se tiene que esta familia de circunferencias (solución general de la EDO) es $(x-x_\alpha)^2+(y-x_\alpha)^2=2^2$, esto es $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,x-2\,\alpha_x\,y=4 \quad (1)$, donde $\alpha_x$ juega ahora el papel de constante arbitraria (de integración). Para obtener una expresión de la misma, derivo, despejo, simplifico y sustituyo:
Al derivar obtengo, $x+y-\alpha_x-\alpha_x\,y'=0$, es decir, $x+y=(y'+1)\,\alpha_x$ y por tanto, $\alpha_x=\dfrac{x+y}{1+y'}$, y sustituyendo en $(1)$ -que es lo mismo que $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,(x+y)=4$- llegamos a $x^2+y^2-2\,\dfrac{(x+y)^2}{1+y'}=4$, es decir, $(x^2+y^2-4)(1+y')-2\,(x+y)^2=0$ $\diamond$

Alguns exemples de demostració pel mètode d'inducció, aplicats a les sèries

Exemple 1:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es verifica $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $(n+1)^2$ al primer membre (sumem el quadrat del nombre consecutiu al darrer terme), obtenint
    $\big(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\big)+(n+1)^2$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1)+(n+1)^2$
expressió que és igual a
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big(2\,n^2+7\,n+6\big)$
i que, factoritzada, queda
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,(n+2)(2\,n+3)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió:
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big((n+1)+1\big)\,\big(2\,(n+1)+1\big)$
Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\diamond$

-oOo-

Exemple 2:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $2+4+6+\ldots+2n=n\,(n+1)$     ( $n \in \mathbb{N}$ ).

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $2\,(n+1)$ al primer membre (sumem el nombre parell consecutiu al darrer terme), obtenint
  $\big(2+4+6+\ldots+2n\big)+2\,(n+1)$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a $n\,(n+1)+2\,(n+1)$
expressió que és igual a $n^2+3\,n+2$
i, factoritzada, queda
$(n+1)\,(n+2)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió. Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\diamond$

-oOo-

Exemple 3:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+4+7+\ldots+(3\,n-2)=\dfrac{1}{2}\,n\,(3\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $3\,(n+1)-2$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $3$), obtenint
  $\bigg(1+4+7+\ldots+\big(3\,n-2\big)\bigg)+\big((3\,(n+1)-2\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\bigg(\,n\,(3\,n-1)+2\,\big((3\,(n+1)-2\big)\bigg)$
expressió que és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\big(3\,n^2+5\,n+2\big)$
i, factoritzada, queda
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,n+2)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,(n+1)-1)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$.
$\diamond$

-oOo-

Exemple 4:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+5+9+\ldots+(4\,n-3)=n\,(2\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $4\,(n-3)+4$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $4$), obtenint
  $\bigg(1+5+9+\ldots+\big(4\,n-3\big)\bigg)+\big((4\,n-3)+4\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $n\,(2\,n-1)+\big((4\,n-3)+4\big)$
expressió que és igual a
    $2\,n^2+3\,n+1$
i, factoritzada (nota), queda
    $(n+1)\,(2\,n+1)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
    $(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$. Hem acabat.
---------------

Nota:  
Per factoritzar el polinomi $2\,n^2+3\,n+1$ en calculem, primer de tot, les arrels o zeros del polinomi (que són els nombres que l'anul·len) i, per acabar, aplicarem el teorema de factorització.

Resolem, doncs, l'equació $2\,n^2+3\,n+1=0$ per determinar les seves arrels. L'equació és polinòmica de 2n grau, i ja ve expressada en forma completa (o general) $a\,x^2+b\,x+c=0$, amb coeficients: $a=2$, $b=3$ i $c=1$
veiem que el discriminant $\Delta=b^2-4\,a\,c$ que és igual a $3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$, que és un nombre positiu, i, per tant, veiem que hi ha dos nombres reals (diferents) com a solució, que són els següents:
      $\dfrac{-3\pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-3\pm 1}{4}$
Obtenim, doncs, les següents arrels del polinomi
    $n_1=-\dfrac{1}{2} \quad \text{i} \quad n_2=-1$
llavors, pel teorema de factorització podem escriure
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-n_1\big)\,\big(n-n_2\big)$
és a dir
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-(-\dfrac{1}{2}\big)\,\big(n-(-1)\big)$
        $=2\,\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\,\big(n+1)\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,n+1\big)$
$\diamond$

-oOo-

Exemple 5:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2 \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa (suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat, i que ja sabem que es igual a $\left( \dfrac{n\,(n+1)}{2}\right)^2$ suma dels $n$ termes consecutius de la succesió aritmética elevada al quadrat

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ), sumem el terme $(n+1)^3$ als dos membres de la igualtat,
  $(1^3+2^3+\ldots+n^3)+(n+1)^3=\left( \dfrac{n\,(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3$
i, si desenvolupem el segon membre, veurem que es igual a
    $(n+1)^2\,\left( (n/2)^2 + (n+1)\right)=(n+1)^2\left( n^2+4n+4\right)/2^2=(n+1)^2\,((n+2)/2)^2=((n+1)(n+2)/2)^2$

i, doncs, es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Per tant, hem acabat.
$\diamond$