Acerca del fundamento matemático de la navegación hiperbólica, basado en las propiedades de una hipérbola cuyos focos correspondan a las estaciones emisoras

La navegación hiperbólica, para muy largas distancias -muy utilizada antes de la aparición de los sitemas de posicionamiento satelital- consiste básicamente en la recepción por parte de un barco o un avión de señales de radio, con frecuencias del orden de los 100 kHz, emitidos por varias estaciones separadas una gran distancia entre ellas, pongamos que del orden de mil kilómetros, y de manera sincronizada. Al encontrarse el barco a mucha distancia de las dos estaciones emisoras, habrá una diferencia de tiempos pequeña pero apreciable (del orden de milisegundos) en la recepción de estas señales.

Consideremos el plano en el que se encuentran un barco y dos estaciones emisoras. Emplearemos un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, con ambos ejes graduados de la misma manera. Las coordenadas de las dos estaciones pongamos que sean $A(500,0)$ y $B(-500,0)$, cantidades que están expresadas en kilómetros. Supongamos que en el momento de recibir las señales, la posición del barco es $P(x_P\,,\,600)$, y la recepción en P de la señal emitida por A se produce 3 ms antes que la que ha emitido B, lo cual significa que, en línea recta, P está más cerca de A que de B; concretamente, dicha diferencia la calculamos fácilmente multiplicando la velocidad de la luz (ondas de radio) por esa diferencia de tiempo: $\ell=(3\times 10^8)\cdot (3\times 10^{-3})=9\times 10^5\;\text{m} = 900\,\text{ km}$.

Pues bien, a partir de las propiedades de la hipérbola, cuya ecuación estándar (centrada en el origen de coordenadas $O(0,0)$) es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \quad (1)$, donde $a=\text{dist}(O,V)=\text{dist}(O,V')$ denotando por $V$ y $V'$ los vértice de la parábola. Vamos a determinar la coordenada x del barco.

Las posiciones de las dos estaciones emisoras corresponden a los focos de una hipérbola. La distancia entre estos dos foco A y B, situados en el eje Ox y equidistantes del origen de coordenadas. El centro de la hipérbola se situa por tanto en el punto medio del segmento $[A,B]$. Entonces, la distancia entre los dos focos A y B, $\text{dist}(A,B)$ -cantidad a la que suele denominarse $2c$, pues $\text{dist}(O,A)=\text{dist}(O,B)=c$- es por tanto $2c=500-(-500)=1000\,\text{km}$, luego $c=\dfrac{1000}{2}=500\,\text{km}$. Por otra parte, la distancia entre el vértice V y el foco A es $c-a$, que es la misma que la distancia entre el foco B y el vértice V'. Trasladando, a partir de B, la distancia $\ell$ sobre el segmento $[A,B]$ es claro que $2(c-a)+\ell=2c \therefore a=\dfrac{\ell}{2}=\dfrac{900}{2}=450\,\text{km}$. Y como la relación que liga los parámetros $a,b$ y $c$ en una hipérbola es $c^2=a^2+b^2$, se deduce que $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{500^2-450^2}\approx 218\,\text{km}$

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es $\dfrac{x^2}{450^2}-\dfrac{y^2}{218^2}=1$. Y, teniendo en cuenta que $y_P=600$, se tiene que al ser $P$ un punto de dicha hipérbola, sus coordenadas tienen que satisfacer su ecuación, luego $\dfrac{x_{P}^2}{450^2}-\dfrac{600^2}{218^2}=1$; por lo tanto, $x_P=\pm 450 \cdot \sqrt{(600/218)^2-1} \approx \pm 1\,318$, y al estar $P$ más cerca de $A$ que de $B$, discriminamos el resultado negativo (la abscisa que buscamos ha de ser positiva), por tanto la posición de $P$ es $P(1\,318\,,\,600)$.

Nota: En el ejemplo hemos partido del conocimiento previo de una de las dos coordenadas del barco y nos ha bastado una pareja de estaciones emisoras para determinar la otra coordenada. Si, como es habitual, desconocemos las dos coordenadas, podemos valernos de una tercera estación emisora, de manera que tomando las tres estaciones de dos en dos, podremos determinar las ecuaciones de las dos hipérbolas correspondientes, calculando finalmente el punto de intersección de ambas, que ha de corresponder a la posición del barco.

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Una transformación de coordenadas que cambia una recta por una parábola

Consideremos la siguiente transformación de coordenadas: $$(x,y) \overset{T}{\longrightarrow} (\tilde{x},\tilde{y}): \left\{\begin{matrix} \tilde{x}=x^2-xy \\ \tilde{y}=xy\end{matrix}\right.$$ Nos preguntamos cómo se transforma la recta de ecuación $y=x-1$

Una manera sencilla de hacerlo consiste en comenzar escribiendo la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{x-1}{1}=t \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t+1 \\ y=t\end{matrix}\right.$$ con lo cual, las ecuaciones de la transformación se escribirán de la forma: $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=(t+1)^2-t\,(t+1)\\ \tilde{y}=t\,(t+1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=t+1 & (1)\\ \tilde{y}=t^2+t & (2)\end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $t$ de (1), $t=\tilde{x}-1$, y sustituyendo su expresión en (2), obtenemos $$\tilde{y}=(\tilde{x}-1)^2+(\tilde{x}-1)$$ y, simplificando el segundo miembro, llegamos a: $$\tilde{y}=\tilde{x}^2-\tilde{x}$$ Obsérvese que la recta descrita en el sistema de $(x,y)$ corresponde, según la transformación, a una parábola en el sistema $(\tilde{x},\tilde{y})$
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Cálculo de la integral de la función techo de $x$ entre $0$ y un número entero no negativo $m$

Me propongo resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int_{0}^{m}\,\left \lceil x \right \rceil \,dx \quad (\mathbb{Z} \ni m \ge 0)$$

Puesto que si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lceil x \right \rceil$, por la definición de dicha función discreta, se tiene que $k-1 \lt x \le k$ $\therefore$ $I=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,\int_{k-1}^{k}\,k\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\,\int_{k-1}^{k}\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\;x|_{k-1}^{k}=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\cdot \left(k-(k-1)\right)=$
  $=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\cdot 1 = \displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k = \dfrac{0+(m+1)-1)\cdot 1}{2}\cdot (m+1)=\dfrac{m\,(m+1)}{2}$, resultado que, tanto si $m$ es par como si es impar, es un número entero positivo, como debe ser, pues la interpretación geométrica del resultado de esta integral, dada la naturaleza de la función del integrando (función techo), es la suma del las áreas de un conjunto de rectángulos adyacentes con bases de longitud la unidad y cuyas alturas respectiva son números naturales consecutivos. $\diamond$

La suma de los $n$ primeros números naturales impares consecutivos es igual al número natural cuadrado perfecto $n^2$

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares, $a_n=2n+1\; (n=0,1,2,\ldots)$, es un cuadrado perfecto

Primero, hago unas cuantas comprobaciones de tal afirmación: $$S_1=1=1^2$$ $$S_2=1+3=4=2^2$$ $$S_3=1+3+5=9=3^2$$ $$S_4=1+3+5+7=16=4^2$$ $$\ldots$$ $$S_n=1+3+5+7+\ldots+(2n+1)=n^2$$ Eso parece suceder: la suma de los primeros $n$ números impares consecutivos es el cuadrado de un número natural; sin embargo, pretendo probar la proposición. Desde luego, no basta con comprobaciones de este tipo y con escribir lo que se infiere de ellas. Podría probarse mediante el método de inducción, pero, alternativamente, voy recurrir a la naturaleza de progresión aritmética de dicha serie, y, así, esa prueba va a ser muy sencilla. Empezaré escribiendo la suma de un número genérico de términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Reconociendo que ésta es la suma de $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$ y primer término igual a $1$, como es bien conocido, dicha suma es igual a $$S_n=\dfrac{a_0+a_{n}}{2}\cdot n$$ y teniendo en cuenta que $a_{n}=a_0+d\cdot (n-1)=1+2\cdot (n-1)=2n-1$, se concluye que $$S_{n}=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$

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A modo de verificación, con la suma de los $6$ primeros números naturales impares consecutivos, $1+3+5+7+9+11$, que, desde luego, haciendo las sumas sucesivas es igual a $36$; y, según la proposición que se ha demostrado, en efecto, así es, habiendo $6$ términos dicha suma es igual $6^2=36$. Podemos pues afirmar así, que, sin necesidad de hacer sumas sucesivas, la suma de los $1\,000$ primeros números impares consecutivos es igual a $1000^2=(10^3)^2=10^6$

La suma $1+3+5+7+\ldots$ es una serie telescópica

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares es un cuadrado perfecto

Estudiemos la serie $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Obsérvese que esta serie es, además de aritmética -con lo cual podríamos sumarla de una manera muy sencilla-, es también de tipo telescópico, pues puede reescribirse como la suma de un conjunto de términos positivos y negativos los cuales se anulan por parejas, salvo el primero y el último, que no se anula entre sí, quedando por tanto dicha suma igual al primero más el último. En efecto -y eso es lo que cuesta más de ver-, puede comprobarse que, por ejemplo, que la suma de los cuatro primeros términos, $S_4 = \displaystyle \sum_{i=0}^{3}\,(2i+1)=1+3+5+7$, puede reescribirse de la forma:
  $S_4=1+3+5+7=$
                $=((0+1)-0^2)+(1+1)^2-1^2)+((2+1)^2-2^2)+((3+1)^2-3^2)$
                  $=(1-0)+(4-1)+(9-4)+(16-9)$
                    $=-1+1+4-4+9-9+16$
                  $=16$
                    $=4^2$

Escribiendo la suma genérica para $n$ términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)= \sum_{i=0}^{n-1}\,\left((i+1)^2-i^2\right)=\ldots=n^2$$ Nota: Desde luego, si sumamos la serie mediante la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, primer término $a_0=1$, y $n$-ésimo término $a_n=a_0+(n-1)\,d=1+(n-1)\cdot 2=2n-1$, obtendremos el mismo resultado. Es fácil comprobarlo; en efecto, $$S_{n}=\dfrac{a_0+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=\dfrac{2n}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$

Series numéricas telescópicas

Decimos que una serie es "telescópica" si todos sus términos se cancelan excepto el primero y el último, lo cual facilita enormemente su análisis.

Así, por ejemplo, la suma de la secuencia $$S_4=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$$ puede reescribirse de la forma, $$S_4=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{4}\,(a_i-a_{i+1}) \quad (1)$$ donde, $a_i=\dfrac{1}{i}$ y $a_{i+1}=\dfrac{1}{i+1}$

Es claro que podemos escribir esta suma como $$\left(1+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})\right)-\dfrac{1}{5}$$ esto es $$1+(0+0+0)-\dfrac{1}{5}$$ siendo $a_1=1$, $a_2=a_3=a_4=0$, y $a_5=a_{4+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$
Así pues vemos con claridad que el valor de esta suma, que es la de la serie original, es $$1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$$ es decir, $S_4=a_1-a_{4+1}$, y, para un número $n$ de arbitrario de términos de la serie (1), basta con actualizar dicho valor de $n$ en la fórmula deducida $$S_n=a_1-a_{n+1} \quad (2)$$

En general, se infiere fácilmente que la fórmula de suma (2) es válida para cualquier secuencia telescópica, es decir, para cualquier secuencia/serie que, sea cual sea la expresión de $a_i$, podamos reescribirla de manera equivalente de forma que se cancelen todos los términos de la suma excepto el primero y el último.

Bien, visto ésto, estamos en condiciones de responder con facilidad a la siguiente pregunta: ¿Cuál será por tanto el valor de la suma de infinitos términos (serie infinita) (suma de series telescópicas de infinitos términos? $$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}$$ Ya sabemos que podemos escribir esta serie de la forma equivalente: $$\displaystyle S_{\infty}=\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left((a_1-a_{1+1})+(a_2-a_{2+1})+\ldots+(a_n-a_{n+1})+\ldots\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(a_1-a_{n+1})$$ donde, en el caso concreto del ejemplo que nos ocupa, $$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(1+\dfrac{1}{n+1})=1+0=1$$

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Una integral cuyo integrando es la función irracional $f(x)=\sqrt{x^2+bx+c}$

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int\,\sqrt{x^2+bx+c}\;dx$$

Observemos que podemos reexpresar el integrando de la forma:
$\sqrt{x^2+bx+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-b^2/4+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-(b^2/4-c)}=$   $=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{b^2/4-c}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{(\sqrt{b^2/4-c})^2}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2-1} $

Mediante el cambio de variable $\sin(\theta)=\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}$, se tiene que $\cos(\theta)\,d\theta=\dfrac{1}{\sqrt{b^2/4-c}}\,dx$, y por tanto, $dx=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \cos(\theta)\,d\theta$, la integral propuesta es $$I=\displaystyle \int\,(\sqrt{b^2/4-c}) \cdot \sqrt{\sin^2\,(\theta)-1} \cdot (\sqrt{b^2/4-c})\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\sin^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{1-\cos^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\cos^2\,(\theta)}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos\,(\theta)\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$$ Denotemos ahora $J=\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$, integral que podemos resolver mediante el método de integración de por partes: $$\displaystyle J=\int\,\cos(\theta)\,(\cos(\theta)\,d\theta)$$ Sea $u=\cos\,(\theta)$ y $dv=\cos(\theta)\,d\theta)$; entonces $du=-\sin(\theta)\,d\theta$ y $v=\sin(\theta)$, con lo cual $$\displaystyle J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)-\int\,\sin(\theta)\cdot (-\sin(\theta)\,d\theta)$$ es decir
  $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,\sin^2(\theta)\,d\theta$
    $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,(1-\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta -\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta$
por lo tanto $$\displaystyle 2\,\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta $$ es decir $$2\,J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta$$ y así, $$J=\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta+C_1$$ con lo cual, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ que podemos expresar de la forma $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \sqrt{1-\sin^2(\theta)}+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ Deshaciendo ahora el cambio de variable, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}\cdot \sqrt{1-\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2}+\dfrac{1}{2}\,\text{arcsin}\,\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)\right)+C$$ $\diamond$