Límite superior y límite inferior

Se recurre a veces al límite superior e inferior cuando el límite global no existe. Suelen usarse estos límites trantando con sucesiones oscilantes, si bien son perfectamente aplicables a cualquier otro tipo de función. Recomiendo la lectura de este artículo de Wikipedia, en el que se explica esta idea con mucha claridad.

Ejemplo: Es claro que no existe el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\sin(x)$, sin embargo sí que podemos hablar de los límites superior e inferior, respectivamente: $$\displaystyle \overline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,\sin(x)=+1$$ y $$\displaystyle \underline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,\sin(x)=-1$$

Justificación de la fórmula de Euler

Dado un número complejo expresado en forma binomial
$z=a+i\,b$
podemos expresarlo de forma trigonométrica
$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
$$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}$$
con lo cual podremos escribir
$r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo $z$ de la siguiente forma
$z=r\,e^{i\,\alpha}$
expresión que se conoce como forma polar de $z$



Vamos ahora a justificar dicha expresión

Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones $\sin{\alpha}$ i $\cos{\alpha}$ alrededor de $\alpha=0$ vemos que

$\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$

y

$\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots$

Componiendo la operación

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}$

encontramos

$\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+$
  $+i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)$

que puede expresarse de la forma
$1+\dfrac{i\alpha}{1!}+\dfrac{(i\alpha)^2}{2!}+\dfrac{(i\alpha)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(i\alpha)^n}{n!}+\ldots$

la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función

$e^{i\,\alpha}$

por lo que podemos escribir

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)$

y de ahí que

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}$

y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler

$z=r\,e^{i\,\alpha}$

Observación:
Haciendo $\alpha:=\pi$ en (1), obtenemos la identidad de Euler:
$$-1=e^{i\,\pi}$$
o lo que es lo mismo
$$1+e^{i\,\pi}=0$$


$\square$

Justificación de la fórmula de De Moivre

Cálculo del volumen bajo una superficie ( entre la superficie dada y el plano Oxy ) mediante una integral doble

ENUNCIADO. Calcúlese el volumen bajo la sperficie $f(x,y)=cos\,x \cdot \sin\,y$ sobre el cuadrado $\mathcal{D}=[0,\pi/2] \times [0,\pi/2]$

SOLUCIÓN. El volumen pedido es igual a
$\displaystyle \int\,\int_{\mathcal{D}}\,cos\,x\cdot \sin\,y\,dx\,dy=\int_{0}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{\pi/2}\,\cos\,x\cdot \sin\,y \,dx \right) dy=$
$\displaystyle = \int_{0}^{\pi/2}\, \left( \sin\,y \cdot [\sin\,x]_{0}^{\pi/2} \right) \, dy = \int_{0}^{\pi/2}\, \left( \sin\,y \cdot ( \sin\,\pi/2 - \sin\,0 ) \right) \, dy = $
$ \displaystyle = \int_{0}^{\pi/2}\,\sin\,y \, dy = 1 \; (\text{unidades de longitud})^3$
$\square$

Modelo de una huevera con una función de dos variables

$$f(x,y)=\cos\,x \cdot \sin\,y$$

Integrales impropias en el plano

ENUNCIADO. Calcúlese la integral $\displaystyle \int \int_{\mathcal{D}} \dfrac{1}{\sqrt[3]{xy}}\,dx\,dy$, donde $\mathcal{D}$ es el cuadrado de lado igual a la unidad: $[0,1]\times [0,1]$, esto es $$\mathcal{D}=\{P(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0\le x \le 1; 0\le y\le 1\}$$

SOLUCIÓN.
$\displaystyle \int \int_{\mathcal{D}} \dfrac{1}{\sqrt[3]{xy}}\,dx\,dy=\lim_{(\mu,\delta)\rightarrow (0,0)}\,\int_{\mu}^{1-\mu} \int_{\delta}^{1-\delta} \dfrac{1}{\sqrt[3]{xy}}\,dx\,dy=$
$\displaystyle =\lim_{(\mu,\delta)\rightarrow (0,0)}\,\int_{\mu}^{1-\mu}\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \left( \int_{\delta}^{1-\delta} \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\,dy \right) \,dx=$
$\displaystyle=\dfrac{3}{2}\,\lim_{\delta\rightarrow 0}\,\left(\,(1-\delta)^{2/3}-\delta^{2/3} \right) \, \lim_{\mu\rightarrow 0}\, \int_{\mu}^{1-\mu}\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \,dx$
$\displaystyle =\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\,\lim_{\delta\rightarrow 0}\,\left(\,(1-\delta)^{2/3}-\delta^{2/3} \right) \cdot \lim_{\mu\rightarrow 0}\,\left( \,(1-\mu)^{2/3}-\mu^{2/3} \right)=\dfrac{9}{4}$
$\square$

Integrales definidas impropias

Decimos que una integral es impropia si la función del integrando o bien el dominio de integración no están acatados.
EJEMPLOS:

a) La función no está acotada.
ENUNCIADO. Calcúlese la integra definida $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
SOLUCIÓN. $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a \rightarrow 0}\,\left( \int_{a}^{0}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx\right)=2\,\lim_{a \rightarrow 0}\,\left( 1-\sqrt{a}\right)=2$

b) El dominio de integración no está acotado.
ENUNCIADO. Calcúlese la integra definida $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$
SOLUCIÓN. $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b \rightarrow \infty}\,\left( \int_{1}^{b}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx\right)=-\,\lim_{b \rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{1}{b}-1\right)=1$
$\square$

Plano tangente a una superficie

Sea $\mathcal{S}$ una superficie forma por el conjunto de puntos $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tales que $f(x,y,z)=k$, siendo $k$ una constante. Entonces, el plano tangente $\pi$ a $\mathcal{S}$ en un punto $(x_P,y_P,z_P)$ de $\mathcal{S}$ viene dado por $$\langle \vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P)\,,\,(x-x_P,y-y_P,z-z_P)\rangle =0$$ si $\vec{\nabla}\,f(x_P,y_P,z_P) \neq \vec{0}$ y donde $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=\left( \dfrac{\partial}{\partial\,x}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,f,\dfrac{\partial}{\partial\,z}\,f\right)$ es el gradiente de la función escalar $f$.

EJEMPLO. Calcúlese la ecuación del plano tangente a la superficie definida por $3xy+z^2=4$ en el punto $P(1,1,1)$.

SOLUCIÓN. En el caso que nos ocupa es $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, y, por tanto, $\vec{\nabla}\,f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$, luego $\vec{\nabla}\,f(1,1,1)=(3\cdot 1,3\cdot 1,2\cdot 1)=(3,3,2)$

Por consiguiente, el plano tangente pedido vendrá dado por $\pi \equiv \langle (3,3,2)\,,\,(x-1,y-1,z-1)\rangle=0$, esto es, $$\pi \equiv 3c+3y+2z-8=0$$

$\square$