Funciones reales de una variable real. Infinitésimos equivalentes

Definición (infinitésimo).Recordemos que $f(x)$ es un infinitésimo si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=0$, donde $a$ puede ser, también, $\pm\infty$.

Definición (infinitésimos equivalentes).Dos infinitésimos, $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

Definición (orden relativo de dos infinitésimos).Dos infitésimos $f(x)$ y $g(x)$ tienen el mismo orden si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=k\neq 0$. Diremos que $f(x)$ es de mayor orden que $g(x)$ si $k=0$; y, $f(x)$ es de menor orden que $g(x)$ si $k=\pm \infty$. En el caso de que no exista el límite referido se dice que los infinitésimos $f(x)$ y $g(x)$ no son comparables.

Teorema 1. Dos infinitésimo son equivalentes si y sólo si el orden la diferencia es mayor que el orden de ambos.

Teorema 2. La suma de dos infitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Teorema 3 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)=\lim_{x\rightarrow a}\,\psi(x)\,f(x)$$

Teorema 4 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\psi(x)}$$

Los siguientes son infinitésimos equivalentes:

• $\ln(1+x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\ln(x)\sim x-1$, para $x\rightarrow 1$
• $e^x-1\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $a^x-1\sim x\,\ln(x)$, para $x\rightarrow 0$
• $\sin(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\tan(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arcsen}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arctan}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $1-\cos(x)\sim \dfrac{x^2}{2}$, para $x\rightarrow 0$
• $(1+x)^m-1\sim mx$, para $x\rightarrow 0$ y $m\gt 1$
• $\sqrt[n]{x+1}\sim \dfrac{x}{n}$, para $x\rightarrow 0$

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Observación. Con variable discreta, para $n\rightarrow \infty$), algunas aproximaciones válidas son:

• $n!\approx \sqrt{2\pi\,n}\cdot n^n\cdot e^{-n}$ (aproximación de Stirling)
• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{1}{i}\approx \ln\,n+c+\varepsilon$, donde $c$ es una constante y $\varepsilon \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$
• $\dfrac{n^p}{a^n}\approx 0$
• $\dfrac{a^n}{n^p} \approx \infty$
• $\dfrac{\log_{a}\,n}{n^p}\approx 0$
• $\sqrt[n]{a}-1\approx \dfrac{\ln\,a}{n}$
• $\ln(a_n+1) \approx a_n$ cuando $a_n\rightarrow 0$
• $\ln\,a_n \approx a_n-1$ cuando $n\rightarrow 1$

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Hay infinitos números primos (Euclides, siglo III a.C.)

Euclides (ca. 325 a. C.,-ca. 265 a. C.) nos dejó una elegante demostración en la proposición número 20 del libro IX de sus Elementos [Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos], que es un bonito ejemplo del uso de la técnica de demostración por contradicción.

Obviando los números primos negativos -que no se conocían en la antigüedad, y que sí incluyo aquí-, la demostración de Euclides es como sigue (empleando ahora el lenguaje moderno): Sean $p_1,p_2,\ldots$ números primos positivos y $\mathcal{P}=\{\pm p_1,\pm p_2,\ldots\}\subset \mathbb{Z}\setminus \{-1,0,1\}$ el conjunto de todos los números primos (positivos y negativos) -números enteros distintos de $0$, $1$ y $-1$ y que no son múltiplos del resto de números enteros-, donde $p_1\ge 2$ (y $-p_1\le -2$). Tomemos como hipótesis lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, partimos del supuesto de que hay un número finito de números primos, siendo el $p_n$ el máximo (y $-p_n$, el mínimo) de dicho conjunto supuestamene finito. A partir de aquí, vamos a ver como llegamos enseguida a una contradicción que nos permitará negar la hipótesis de partida, con lo cual habremos demostrado justo lo contrario de lo que reza ésta, es decir, que el número de números primos es infinto.

Consideremos ahora un número entero $\alpha:=p'_1\cdot p'_2 \cdot \ldots \cdot p'_n+1$, donde cada $p'_i$ ($i=1,\ldots,n$) puede ser igual a $p_i$ o bien a $-p_i$. Como el resto de la división de dicho número entre cualesquiera de los números primos $\{\pm p_1,\pm p_2\,\ldots,\pm p_n\}$ ha de ser igual a $1$, entonces, al ser el resto distinto de $0$, $\alpha$ no puede ser múltiplo de ninguno de los números primos $\pm p_1,\pm p_2 \ldots,\pm p_n$ del conjunto finito con el que hemos hecho la hipótesis de partida, luego $\alpha$ es un nuevo número primo, tal que $|\alpha| \ge p_n$, con lo que llegamos a una contradicción, y hemos terminado. $\square$
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Referencias:
[1]  Euclides: Elementos, Libro IX, proposición número 20

Algunas series de números naturales que aparecen en muchos problemas de combinatoria y probabilidad

Nos proponemos sumar los $50$ primeros términos de las siguientes secuencias de números naturales:
  a) $1,2,3,4,5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50$
  b) $1,4,9,16,25,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},2500$
  c) $1,8,27,64,125,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},125000$

Observemos que estas sucesiones se forman de la siguiente manera:
  a) $1,2,3,4,5,\ldots$ es la sucesión de los los números naturales $a_n=n$, y siendo finita en nuestro caso la sucesión, con $n=1,2,3,\ldots,50$, es muy fácil demostrar que, teniendo en cuenta que los términos forman una sucesión aritmética de diferencia igual a $1$, la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los númros naturales es $1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$. Así pues, $1+2+3+4+5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50=\dfrac{50\cdot (50+1)}{2}=1\,275$

  b) $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots,50^2$ es la sucesión $b_n=n^2$, siendo finita la sucesión (como en el caso anterior), con $n=1,2,3,\ldots,50$,con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cuadrados de los $50$ primeros números naturales. Por inducción se demuestra fácilmente que la suma de los $n$ primeros términos de dicha sucesión es $1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$. Por consiguiente, $1+4+9+16+25+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+2500=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^2=\dfrac{50\cdot (50+1)\cdot (2\cdot 50+1)}{6}=42\,925$

  c) $1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots,50^3$, es la sucesión finita $c_n=n^3$ con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cubos de los $50$ primeros números naturales. Se demuestra fácilmente —también por inducción— que la suma de los $n$ primeros términos de esta sucesión es $1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}$. Por tanto, $1+8+27+64+125+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+125000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^3=\dfrac{50^2\cdot (50+1)^2}{4}=1\,625\,625$
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Cálculo del logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{Arg}(z)}$, donde $\text{Arg}(z)=\text{arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$ (expresado en radianes), tomando el argumento principal, $\text{arg}(z)$, en el intervalo $0 \le \text{arg}(z) \lt 2\pi$, o en otro intervalo de longitud $2\,\pi$, como es $-\pi \lt \text{arg}(z) \le \pi$; y, como ya sabemos, $\text{arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$ por consiguiente: $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi;\,\mathbb{Z}\ni k=0,1,2,\ldots$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w\equiv \ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $w=\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,(e^{i\,\text{Arg}(z)})=i\,\text{Arg}(z)$, se tiene que $$\displaystyle \ln\,(z)=\ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right);k=0,1,2,\ldots$$ Es decir, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

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Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$, siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

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Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.

Consideremos un experimento aleatorio consistente en contestar tres preguntas al azar. La primera consta de dos opciones; la segunda de tres, y la tercera de cuatro. Como cada pregunta se puede o bien acertar (A) o bien fallar (F) independientemente, es razonable construir el espacio muestral formado por las siguientes $2^3=8$ ternas (sucesos elementales):
$\Omega=\{(A_1,F_2,F_3),(F_1,A_2,F_3), (F_1,F_2,A_3), (A_1,A_2,A_3),$ $\quad \quad \quad (F_1,F_2,F_3), (A_1,A_2,F_3), (A_1,F_2,A_3), (F_1,A_2,A_3)\}$
Nos gustaría calcular el valor esperado del número de preguntas acertadas al realizar este experimento aleatorio, y ponderar así la posibilidad de que un alumno que realice dicho test contestando las preguntas al azar salga airoso de la prueba.

Para ello, definamos la variable aleatoria $X$ que da cuenta del número de aciertos: $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y cuyo soporte es $\{0,1,2,3\}$, ya que podemos acertar: cero, una, dos, o las tres preguntas.

Entonces, el valor esperado pedido es $$E[X]=0\cdot P(\{X=0\})+1\cdot P(\{X=1\})+2\cdot P(\{X=2\})+3\cdot P(\{X=3\}) \quad \quad \quad (1)$$ donde
$P(\{X=0\})=P((F_1,F_2,F_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot (1-P(A_3))=$ $\quad = (1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{4})$
$\quad = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$

$P(\{X=1\})=P((A_1,F_2,F_3) \cup (F_1,A_2,F_3) \cup (F_1,F_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,F_2,F_3))+ P((F_1,A_2,F_3)) + P((F_1,F_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot (1-P(A_3))+ (1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot (1-P(A_3))+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{11}{24}$


$P(\{X=2\})=P((A_1,A_2,F_3) \cup (A_1,F_2,A_3) \cup (F_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,A_2,F_3))+ P((A_1,F_2,A_3)) + P((F_1,A_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot (1-P(A_3))+ P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot P(A_3)+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$


$P(\{X=3\})=P((A_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}$

Con lo cual, de (1): $$E[X]=0\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{11}{24}+2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{3}\approx 0,67\,\text{número esperado (medio) de respuestas correctas}$$

Conclusión. Como $0,67 \lt \dfrac{0+3}{2}=1,5$, no se puede confiar en obtener un resultado favorable por parte del alumno si éste realiza esta prueba contestando las preguntas al azar. $\diamond$

Geometrías euclídeas y no-euclídeas

En la escuela y en el instituto se enseña la geometría euclídea, con la que se aprende a calcular distancias, áreas, volúmenes de los cuerpos del mundo en el que funcionan nuestros sentidos. Más adelante, en el bachillerato, se introduce un importante formalismo dentro del aparato euclídeo: la geometría afín; con ella podemos manejar y describir los espacios vectoriales euclídeos, una construcción intelectual de primera importancia para adentrarnos en la gravitación de Newton y el electromagnetismo. Después, en la universidad, los estudiantes de física aprenden a tratar con geometrías que van más allá del mundo euclídeo, y, por otra parte, desde la noción de grupo algebraico, se aprende a estudiar las propiedades de una geometría a través de los invariantes de un conjunto de transformaciones al actuar éstas sobre los objetos de la misma.

Dentro de los constructos euclídeos podemos situar también la geometría proyectiva, cuyo desarrollo abstracto fue iniciado por Desargues en el siglo XVII, en la que el quinto postulado —no hay rectas paralelas en el plano proyectivo, ni planos paralelos en el espacio proyectivo— se sustituye por el importante concepto de punto del infinito; así, como ya sabían muy bien los artistas del Renacimiento (siglos XV-XVI), es posible representar cuerpos de tres dimensiones en un espacio plano de dos dimensiones; en particular, gracias al uso de los llamados puntos de fuga (puntos del infinito). Las técnicas de dibujo en perspectiva no son otra cosa que la aplicación y el principio práctico de la geometría proyectiva.

Sin embargo, las geometrías euclídeas (afín, afín-euclídea, y proyectiva) no son las únicas; al estudiar espacios de soporte no planos, como por ejemplo las superficies esféricas o las hiperbólicas, la geometría ecuclídea ya no puede explicar lo que ocurre en ellas. Valga como ejemplo un hecho que es muy fácil de comprobar: la suma de los ángulos de un triángulo esférico es superior a dos rectos.

Gracias a las geometrías no euclídeas, que niegan el quinto postulado de Euclides, podemos ver el universo físico más allá de lo que percibimos de forma inmediata con nuestros sentidos; así, por ejemplo, la Teoría General de la Relatividad (la teoría de la gravitación de Einstein) se fundamenta en la geometría (no euclídea) de Riemann, la geometría del espacio-tiempo, cuyos casos particulares son la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.

Por otra parte, más allá de la distinción entre geometrías euclídeas y no euclídeas, cabe señalar el concepto de geometría basado en las transformaciones algebraicas que Félix Klein propuso a finales del siglo XIX: la geometría según Klein se concibe como el estudio de las actuaciones de un grupo de transformaciones sobre un conjunto de objetos; las propiedades de una geometría son los invarianates de dichas transformaciones. Este paradigma reviste una enorme importancia en física. $\diamond$