Y si calculamos la integral indefinida o bien derivamos en cada miembro de esta igualdad obtendremos otros desarrollos en serie de potencias que pueden ayudarnos a sumar otras series numéricas infinitas, tal y como vamos a mostrar en breve. Así, si integramos en cada unos de los miembros de la igualda anterior, llegamos a
\displaystyle \int \sum_{i=0}^{\infty}\,x^i\,dx =\int \dfrac{1}{1-x}\,dx
esto es
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{x^{i+1}}{i+1} =\ln\,(|1-x|)+C
Calculamos el valor de la constante de integración C, teniendo en cuenta que para x=0 se tiene que cumplir que \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{0^{i+1}}{i+1} =\ln\,(|1-0|)+C y por tanto 0=0+C \Rightarrow C=0, luego se tiene que
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{x^{i+1}}{i+1} =\ln\,(|1-x|)+0
esto es
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{x^{i+1}}{i+1} =\ln\,(|1-x|)
Podemos hacer un cambio de índice en el sumatorio para obtener una igualdad también válida un poco más compacta; así, si denominamos j a i+1, el nuevo índice j tomará el valor 1 cuando i tome el valor 0, por tanto también es vàlido el siguiente resultado
\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}\,\dfrac{x^{j}}{j} =\ln\,(|1-x|)
Volviendo ahora a las series numéricas, podemos enrriquecer nuestro «cajón de sastre» con una nueva herramienta:
\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}\,\dfrac{r^{j}}{j} =\ln\,(|1-r|)\quad \text{para}\quad |r|\lt 1
Y, a modo de ejemplo, consideremos la siguiente \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{k\cdot 2^{k}}. ¿Podríamos aprovechar este nuevo resultado para calcular su suma? Veamos que, en efecto, así es; para ello, hay que intentar reescribir el argumento del sumatorio perfilando el patrón del nuevo tipo de serie que ya sabemos sumar:
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \,\dfrac{1}{k\cdot 2^{k}}=
\sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{k} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}=
\sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}}{k}
que se asemeja perfectamente con el resultando (siendo en este caso r=1/2), con lo cual concluimos que
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \,\dfrac{1}{k\cdot 2^{k}}=\ln\,\dfrac{1}{2}
Volviendo al desarrollo en serie de potencias, también podemos obtener un nuevo resultado para la suma infinita de otro nuevo tipo de series numéricas derivando respecto de la variable x cada miembro de la igualdad \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,x^i=\dfrac{1}{1-x} (que recordemos que és valida para |x|\lt 1): \displaystyle \dfrac{d}{dx}\left( \sum_{i=0}^{\infty}\,x^i\right) =\dfrac{d}{dx}\,\left(\dfrac{1}{1-x}\right)
con lo cual
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,i\,x^{i-1} =\dfrac{1}{(1-x)^2}
Y retornando ahora a las series numéricas, podemos reescribir lo anterior como un nuevo resultado muy útil para calcula la suma infita de un nuevo tipo de series. Cambiando x por r (recordando, eso sí, que r ha de cumplir que |r|\lt 1):
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,i\cdot r^{i-1} \overset{\text{la contribución para}\,i=0\,\text{es nula}}{=}\sum_{i=1}^{\infty}\,i\cdot r^{i-1} = \dfrac{1}{(1-r)^2}
A modo de ejemplo, calculemos la siguiente suma infinita:
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\,\dfrac{k+1}{3^k}
Esta serie se ajusta bien al tipo de serie que acabamos de tratar. En efecto,
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\,\dfrac{k+1}{3^k} \overset{\ell:=k+1\,\text{con lo cual, cuando}\,k=0,\ell\,\text{toma el valor}\,1}{=}
=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty}\,\ell \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\ell-1}\overset{$r=1/3$}{=}\dfrac{1}{\left(1-(1/3)\right)^2}=\dfrac{1}{(2/3)^2}=\dfrac{9}{4}
\square
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