Suma de una serie aritmético-geométrica

En el artículo anterior hablaba de la suma de una serie geométrica en la que era necesario el uso de algunos pequeños artilugios algebraicos para arreglarla convenientemente; en éste, voy a exponer la técnica para calcular la suma de la serie aritmético-geométrica $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i\,r^i \quad \text{donde} \quad |r|\lt 1$, condición que debe cumplirse para garantizar que dicha serie converge, tal y como comprobaremos en el desarrollo.


El término geeral de las sumas parciales $$S_1=r$$ $$S_2=r+2r^2$$ $$S_3=r+2r^2+3r^3$$ $$\ldots$$ es $$\displaystyle S_n=r+2r^2+3^r3+4r^4+\ldots+(n-1)r^{n-1}+nr^n$$ multiplicando por $r$ en cada miembro de la igualda anterior nos queda $$\displaystyle rS_n=r^2+2r^3+3r^4+4r^5\ldots+(n-1)r^n+nr^{n+1}$$ y restando, miembro a miembro, la segunda igualdad a la primera llegamos a $$S_n-rS_n=r+r^2+r^3+\ldots+r^n-nr^{n+1}$$ esto es $$(1-r)\,S_{n}=\left(r+r^2+r^3+\ldots+r^n\right)-nr^{n+1}$$ donde la suma de términos entre paréntesis del segundo miembro corresponde a la de $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $r$ y de primer término $r$, luego, como ya sabemos, $r+r^2+r^3+\ldots+r^n=r\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ con lo cual, podemos escribir que $$(1-r)\,S_{n}=r\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}-nr^{n+1}$$ Ahora, para sumar los infinitos términos, tenemos que pasar al límite cuando $n\rightarrow \infty$ en los dos miembros de la igualdad, por lo tanto $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left((1-r)\,S_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(r\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}-nr^{n+1}\right)$$ esto es $$\displaystyle (1-r)\,\lim_{n\rightarrow \infty}\,S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(r\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}\right)-\lim_{n\rightarrow \infty}\left(nr^{n+1}\right)$$ Así $$\displaystyle (1-r)\,\sum_{i=1}^{\infty}\,ir^i=r\cdot \dfrac{0-1}{r-1}-0=\dfrac{r}{1-r}$$ habida cuenta de que, el límite del segundo término del segundo miembro, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(nr^{n+1}\right)$, es igual a cero, pues si bien el primer factor $n$ tiende a infinito y $r^{n+1}$ tiende a cero (por ser $|r|\lt 1$), éste último lo hace más rápidamente de lo que crece el primero; por tanto, concluimos que $$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,ir^i=\dfrac{r/(1-r)}{1-r}=\dfrac{r}{(1-r)^2}$$
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Ejemplo
A modo de práctica, vamos a sumar la serie $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{5i+1}{2^i}$$ En primer lugar, podemos descomponerla como suma de una serie aritmético geométrica (más sencilla) y una série geométrica: $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{5i+1}{2^i}=\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{5i}{2^i}+\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{1}{2^i}=$$ $$\displaystyle=5\,\sum_{i=0}^{\infty}\,i\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i+\sum_{i=0}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i=5\left(0+\,\sum_{i=1}^{\infty}\,i\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i\right)+\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^0+\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i\right)$$ La razón $r$, de sendas series toma el valor $1/2$, luego las dos sumas convergen, y, aplicando lo que hemos visto arriba, concluimos: $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{5i+1}{2^i}=\left(0+5\,\dfrac{1/2}{(1-1/2)^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1-1/2}\right)=5\,\dfrac{1/2}{(1/2)^2}+\left(1+\dfrac{1}{2}\cdot 2\right)=5\cdot 2+2=12$$ $\square$