Un ejercicio de suma de una serie geométrica convergente, con un paso intermedio interesante

En muchos problemas de cálculo de probabilidades en los que se trata de calcular la probabilidad de que gane uno y otro jugador en un juego con extracciones repetidas de bolas de una urna, o en el lanzamiento repetido de dados, aparece a menudo la necesidad de sumar series convergentes con infinitos términos al objeto de calcular probabilidades y esperanzas matemáticas. Tal es el caso de la resolución de la siguiente serie, que expongo simplemente a modo de ejemplo.


Nos proponemos calcular la suma de los infinitos términos de la siguiente sucesión geométrica convergente: $\displaystyle a_i=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{i-1},\quad i=1,2,3,\ldots$
Entonces,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{i-1}=\dfrac{1}{1/3} \sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i}\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{i-1}=3\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{i}=3\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\right)^{i}=3\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{9}\right)^{i}$
    Observemos ahora que como la razón de la sucesión de los términos, $\dfrac{2}{9}$, es menor que $1$, esta serie geométrica infinita es convergente, y, al pasar al límte, la expresión de la suma de $n$ términos consecutivos de la misma, se obiene como resultado $\displaystyle 3\,\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{2}{9}\right)^{i}=3\,\lim_{n\rightarrow\,\infty}\dfrac{\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}-1}{\dfrac{2}{9}-1}=3\cdot \dfrac{0-1}{\dfrac{2}{9}-1}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{2}{9}}=3\cdot \dfrac{9}{9-2}=3\cdot \dfrac{9}{7}=\dfrac{27}{7}$
$\square$