El número e y su relación con las series de potencias

Sabemos que el desarrollo en serie de potencias por Taylor de la función $f(x)=e^x$ viene dado por $\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{x^i}{i!}$, para todo $x\in \mathbb{R}$; en particular, si hacemos que $x$ tome el valor $1$, tenderemos que $\displaystyle e=e^1=\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{1^i}{i!}=\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{1}{i!}=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+\ldots=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+\ldots$, esto es, podemos escribir $\displaystyle e=1+\sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{i!}$
Esto nos puede ayudar a sumar series parecidas; por ejemplo, $\displaystyle \sum_{i=3}^{\infty}\,\dfrac{1}{(i+2)!}\overset{j:=i+2\Rightarrow j=5\,\text{cuando}\,i=3}{=}\sum_{j=5}^{\infty}\,\dfrac{1}{j!}=\sum_{j=0}^{\infty}\,\dfrac{1}{j!}-\sum_{j=0}^{4}\,\dfrac{1}{j!}=e-\left(1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!\right)=$
    $e-\dfrac{65}{24}$ $\square$