Suma de una serie cuadrático-geométrica

En un artículo anterior hablaba de la suma de la serie $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i\cdot r^i$ en la que utilizaba lo conocido sobre las series geométricas convergentes (siendo, claro está, la razón $r$ menor que $1$ en valor absoluto). Ahora voy a exponer una técnica básica para suma una serie del tipo $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i^2 \cdot r^i$ empleando también la misma técnica (de &#multiplicar por $r$») empleada para hacer el cálculo de $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i\cdot r^i$, pero aplicándola ahora consecutivametne dos veces consecutivas para llegar a encontrar una serie geométrica (cuya suma infita que sabemos calcular) entre los términos que convergen. Insisto en que para que dichas series converjan es necesario que $|r|\lt 1$.


Examinemos la sumas parciales $$S_1=r$$ $$S_2=r+4r^2$$ $$S_3=r+4r^2+9r^3$$ $$\ldots$$ luego el término general de las mismas es $$\displaystyle S_n=r+2r^2+9^r3+16r^4+\ldots+(n-1)^2r^{n-1}+n^2r^n$$ multiplicando por $r$ en cada miembro de la igualda anterior nos queda $$\displaystyle r\cdot S_n=r^2+4r^3+9r^4+16r^5\ldots+(n-1)^{2}r^n+n^{2}r^{n+1}$$ Restando, miembro a miembro, la segunda igualdad a la primera llegamos a $$(1-r)\cdot S_n=\left(r+3r^2+5r^3+7r^4+\ldots+(2n-5)r^{n-2}+(2n-3)r^{n-1}+(2n-1)r^{n}\right)-n^2r^{n+1}$$ Volviendo ahora a multiplicar por $r$ ambos miembros de esta igualdad se llega a $$r(1-r)\cdot S_n=r^2+3r^3+5r^4+7r^5+\ldots+(2n-5)r^{n-2}+(2n-3)r^{n}+(2n-1)r^{n+1}-n^2r^{n+2}$$ Y restando (otra vez) esta expresión de la de las dos líneas superiores llegamos a $$\left( (1-r)-(1-r)\,r\right) \, S_n=r+2r^2+2r^3+2r^4+2r^5+\ldots+2r^{n-1}+2r^n+(-n^2-2n+1)r^{n+1}+n^2r^{n+2}$$ esto es $$(1-r)^2 \, S_n=r+2\,\left(r^2+r^3+r^4+\ldots+2r^5+\ldots+r^n\right)+(-n^2-2n+1)r^{n+1}+n^2r^{n+2}$$ Notemos que al pasar al límite cundo $n\rightarrow \infty$ ambos miembros de la igualdad para calcular la suma infinita démonos cuenta de que los dos últimos miembros del segundo término tienden a cero (habida cuenta de que si bien las potencias de $n$ tienden a infinito las potencias de $r$ con exponente mayor que $n$ tienden a cero más rápidamente ya que $|r|\lt 1$. Por otra parte, la serie geométrica $r^2+r^3+r^4+\ldots+2r^5+\ldots+r^n \overset{n\,\rightarrow\,\infty}{\rightarrow} \dfrac{r^2}{1-r}$, por consiguiente $$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i^2 \cdot r^i=\dfrac{r}{(1-r)^2}+2\,\dfrac{r^2}{(1-r)^3}$$
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Ejemplo
A modo de práctica, vamos a sumar la serie $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{i^2-1}{3^i}$$ En primer lugar, podemos descomponer esta serie en una suma de dos series: una serie del tipo tratado sumada a una série geométrica: $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{i^2-1}{3^i}=\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{i^2}{3^i}-\sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{1}{3^i}$$ y aplicando los resultados obtenidos concluimos que, siendo $r=1/3$, $$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\,\dfrac{i^2-1}{3^i}=\left(\dfrac{1/3}{(1-1/3)^2}+2\cdot \dfrac{(1/3)^2}{(1-1/3)^3}\right)-\dfrac{1/3}{1-1/3}=1$$ $\square$