Buscando la seta preferida

ENUNCIADO. Se sabe que una determinada especie de seta ( en un determinado bosque ) está en proporción del $10\,\%$. Un mitólogo busca setas de dicha especie. ¿ Cuál es la probabilidad de encontrar $10$ setas que no sean de la especie deseada antes de encontrar la tercera seta perteneciente a la especie pedida ?

SOLUCIÓN. Denominaremos 'fallo' a encontrar una seta de una especie que no es la buscada, y éxito a encontrar una seta de la especie deseada. Entonces, según el enunciado, la probabilidad de éxito es $p=0,1$.

Denotamos por $X$ la variable aleatoria "número de fallos antes de encontrar la $n$-ésima seta de la especie deseada". Sabemos que $X$ se ajusta a una distribución binomial negativa, siendo $$P\{X=k\}=\displaystyle \binom{n-1+k}{n-1}\cdot p^n\cdot (1-p)^k$$

Como $k=10$ y $n=3$, obtenemos: $$P\{X=10\}=\displaystyle \binom{3-1+10}{3-1}\cdot (0,1)^3\cdot (1-0,1)^{10} \approx 0,0157$$

$\square$