ENUNCIADO. La Lotería Primitiva es un juego de azar regulado por Loterías y Apuestas del Estado (LAE) que consiste en hacer apuestas, marcando por lo menos 6 números (diferentes) entre 1 y 49. En el sorteo, cada número de la 6-tupla premiada sólo puede salir una vez.
Primera parte:
Si se ha hecho una apuesta simple ( se han marcado $6$ números de entre los $49$ ), calcular la probabilidad de:
a) obtener $6$ aciertos
b) obtener $4$ aciertos exactamente
c) que salga ( entre los aciertos ) el número '10'
d) obtener un sólo acierto
e) no obtener ningún acierto
Segunda parte:
Consideremos ahora que, además de las seis números de la 6-tupla ganadora, se sortee un séptimo número ( llamado 'complementario' ). Calcúlese la probabilidad de:
f) obtener $4$ aciertos y acertar también el número complementario.
g) obtener $4$ aciertos y no acertar el número complementario.
SOLUCIÓN. El espacio muestral $\Omega$ se puede concebir como el conjunto de sucesos ( elementales ) del tipo $[x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5\,x_5]$ donde $x_i \in \{1,2,\ldots,49\}$ para $i\le 6$; dichos sucesos son equiprobables, luego podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso $S$ del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$ de la forma $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{S}$$ donde $N(S)$ es el número de casos favorables ( que calcularemos en cada uno de los casos pedidos ) a $S$ y $N$ es el número de sucesos posibles. En el recuento no consideramos el orden en que van apareciendo los seis resultados.
Primera parte:
El número de casos posibles, $N$, es igual a $C_{49,6}=\binom{49}{6}=13\,983\,816$
Entonces:
a) Hay $1$ sóla manera de elegir los seis aciertos ( la 6-tupla ganadora ), por lo tanto, $N(S)=1$; con lo cual, $P(S)=\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 7,1511\cdot 10^{-8}$
b) Hay $C_{6,4}$ maneras de elegir los cuatro aciertos y $C_{49-4,6-2}$ maneras de elegir los otros dos números ( no acertados ); entonces, por el principio multiplicativo, $N(S)=C_{6,4}\cdot C_{49-4,6-2}=\binom{6}{4}\cdot \binom{49-4}{6-4}$, luego $$P(S)=\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-4}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 1,06194\cdot 10^{-3}$$ Observación: Démonos cuenta que nos encontramos otra vez, aquí, con el modelo hipergeométrico.
c) Hay $1$ sóla manera de elegir el número '10' y $C_{49-1,6-1}=\binom{49-1}{6-1}$ maneras de elegir los cinco restantes, luego por el principio multiplicativo $N(S)=1\cdot \binom{49-1}{6-1}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{1\cdot \binom{49-1}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 1,2245\cdot 10^{-1}$$
d) Hay $C_{6,1}$ maneras elegir una 6-tupla con un sólo acierto y por tanto $C_{49-6,6-1}$ maneras de elegir los otros cinco números ( no acertados ) del la 6-tupla; entonces, por el principio multiplicativo, $N(S)=C_{6,1}\cdot C_{49-6,6-1}=\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}$, luego $$P(S)=\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 4,1302 \cdot 10^{-1}$$
e) Hay $C_{6,0}=\binom{6}{0}=1$ sóla manera de elegir $0$ aciertos y $C_{49-6,6-0}$ maneras de elegir los otros seis números ( no acertados ) [ repárese en la necesidad de descontar los $6$ números premiados de los $49$ que hay en total ]; entonces, por el principio multiplicativo, $N(S)=C_{6,0}\cdot C_{49-6,6-0}=\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}$, luego $$P(S)=\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 4,3596\cdot 10^{-1}$$
Segunda parte:
El número de casos posibles, $N$, es ahora igual a $C_{49,6}\cdot C_{49-6,1}$, pues cara cada una de las $C_{49,6}$ maneras de obtener una 6-tupla, hay $C_{49-6,1}$ maneras de elegir el séptimo número ( apostando por el complementario ), luego $N=\binom{49}{6}\cdot \binom{49-6}{1}=601\,304\,088$
Entonces:
f) Hay $C_{6,4}$ posibilidades de que salgan $4$ números premiados de entre los $6$ que se han apostado; por otra parte, por cada una de las posibilidades comentadas, hay $C_{6-4,1}$ posibilidades de que entre los $6-4$ números apostados esté el número complementario; y, además, por cada una de las posibilidades analizadas ya, hay que tener en cuenta que los $6-4$ números no premiados pueden elegirse de un conjunto de $49-6$ números ( quitando los $4$ supuestamente premiados ). Así que, por el principio multiplicativo, tenemos que $N(S)=\binom{6}{4}\cdot \binom{6-4}{1}\cdot \binom{49-6}{6-4}=35\,280$. Por consiguiente, $$P(S)=\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{6-4}{1}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}\cdot \binom{49-6}{1}}\approx 5,8672\cdot 10^{-5}$$
g) Tenemos también $C_{6,4}$ posibilidades de que salgan $4$ números premiados de entre los $6$ que se han apostado; por otra parte, y por cada una de las posibilidades anteriores, tenemos $C_{49-6,4}$ maneras de elegir los dos números que apostamos que no forman parte de la 6-tupla ganadora; y, finalmente, por cada una de las posibilidades anteriores, debemos tener en cuenta el número de maneras en que puede presentarse el número candidato a 'número/premio complementario': de los $49$ números debemos descartar los seis de la 6-tupla ganadora, esto es $49-6$, pero, además, hay que descartar los $6-4$ números que quedan de los que hemos elegido al realizar nuestra apuesta, por tanto, el número candidato a 'complementario' nos da $C_{49-6-(6-4),1}$ posibilidadades. Así, por el principio multiplicativo, tenemos que $N(S)=\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}\cdot \binom{(49-6)-(6-4)}{6-4}=555\,345$. Por consiguiente, $$P(S)=\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}\cdot \binom{(49-6)-(6-4)}{6-4}}{\binom{49}{6}\cdot \binom{49-6}{1}}\approx 9,2357\cdot 10^{-4}$$
$\square$
