Extensión de la distribución geométrica a la distribución binomial negativa. Algunos ejemplos.

Consideremos un experimento de pruebas repetidas independientes. Realizando $N$ pruebas repetidas ( en el esquema éxito-fracaso ), estamos interesados en calcular la probabilidad de que se produzcan $x$ fallos antes del $n$-ésimo éxito ( donde, desde luego, $N=x+n$ ).

Así, pues, denotemos por $X$ a la variable que da cuenta de dicho número de fallos producidos antes del $n$-ésimo éxito; todo ello, realizando $N$ pruebas repetidas. Es claro que cualquier valor $x$ de $X$ pertenece al conjunto $\{0,1,2,3,\ldots\,N\}$ donde $N\ge 0$

Vamos a dar ahora el siguiente resultado ( no lo demostraremos aquí ):
La variable $X$ así establecida sigue la llamada distribución binomial negativa, que denotamos por $BN(n,p)$, de manera que la función de probabilidad ( o de cuantía ) es de la forma
$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n+x-1}{n-1} \cdot q^{x} \cdot p^{n-1}\cdot p = \displaystyle \binom{n+x-1}{n-1} \cdot q^{x} \cdot p^{n}=$

  $=\displaystyle \binom{n+x-1}{x} \cdot q^{x} \cdot p^{n}$

EJEMPLO 1 ENUNCIADO.
Consideremos una moneda cuya probabilidad de obtener cara ( en un lanzamiento ) es $p=1/3$. ¿Cuál es la probabilidad de que, al ser lanzada $n=5$ veces seguidas (pruebas repetidas independientes), aparezcan tres cruces antes de la segunda cara ?

SOLUCIÓN. Siendo $p=1/3$ la probabilidad de éxito en un lanzamiento (obtener cara), la probabilidad de fracaso en un lanzamiento (obtener cruz) es $q=1-p=2/3$. Entonces: $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{2+3-1}{2-1}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\binom{4}{1}\cdot =\dfrac{32}{243} \approx 0,1317$$

El siguiente ejemplo muestra con bastante claridad la distribución binomial negativa como extensión de la distribución geométrica
EJEMPLO 2 ENUNCIADO.
Un entomólogo se propone encontrar mariposas de una cierta especie. Los individuos de dicha especie se encuentran en un porcentaje del $2\,\%$ ( con respecto al conjunto de individuos de la población de mariposas ). Hállese la probabilidad de que encuentre $100$ mariposas de la especie no deseada antes de dar con:
a) un individuo de la especie deseada
b) cinco individuos de la especie deseada


SOLUCIÓN. Siendo $p=0,02$ la probabilidad de éxito ( encontrar ), la probabilidad de fracaso es $q=1-p=0,98$. Entonces:

a) Según la distribución geométrica y representando $X$ la variable aleatoria 'número de mariposas encontradas de la especie no deseada antes de encontrar una mariposa de la especie que se busca', podemos escribir $$P\{X=100\}=\displaystyle (0,98)^{100}\cdot 0,02\approx 0,0027$$

b) De acuerdo con la distribución binomial negativa, y representando ahora $X$ el número de mariposas encontradas que no pertenecen a la especie buscada, tenemos $$P\{X=100\}=\displaystyle \binom{100+5-1}{5-1}\cdot (0,98)^{100}\cdot (0,02)^5 \approx 0,0020$$


$\square$