Explicaré aquí cómo se calculan las probabilidades de cada una de las diez manos que, clasificadas de mayor a menor valía, son: Escalera real ( Royal flush ), Escalera de color ( Straight flush ), Póquer ( Four of a kind o Quad), Full ( Full house ), Color ( Flush ), Escalera ( Straight ), Trío ( Three of a kind ), Doble pareja ( Two pair o Pocket ), Pareja ( One pair ), Carta alta ( High card ).
Al repartir las cinco cartas que constituyen una mano, una a una, el número de casos posibles es igual a $C_{52,5}=\binom{52}{5}=2\,598\,960$. Como el espacio muestral ( conjunto de sucesos elementales ) está formado por todos los posibles quintetos $[x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5]$, todas ellas son igualmente probables, por lo que podremos emplear la regla de Laplace para calcular las probabilidades de cada mano de póquer ( número de casos favorables a las respectivas manos partido por el número de casos posibles ). Desde luego, la dificultad principal es el cálculo del número de casos favorables de cada una de las manos de la clasificación que hemos comentado.
$M_1$) Escalera real. Consiste en el conjunto de cartas $\{10,J,Q,K,A\}$ del mismo palo. Como hay $4$ palos, el número de casos favorables $N(M_1)$ es igual a $4$,
$M_2$) Escalera de color. Consiste en cinco cartas consecutivas del mismo palo. Hay $10$ maneras de elegir el valor de esas cinco cartas:
$A$,2,3,4,5
2,3,4,5,6
3,4,5,6,7
4,5,6,7,8
5,6,7,8,9
6,7,8,9,10
7,8,9,10,$J$
8,9,10,$J$,$Q$
9,10,$J$,$Q$,$K$
10,$J$,$Q$,$K$,$A$
Ejemplo:
$M_3$) Póquer. Cuatro cartas iguales en valor.
Ejemplo:
i) Podemos elegir el valor de las cuatro cartas de igual valor de $\binom{13}{1}$ maneras; por otra parte, hay $\binom{4}{4}$ maneras de elegir el palo de esas cuatro cartas, luego hay $\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{4}$ maneras de elegir las cuatro cartas.
ii) El valor de la quinta carta no puede ser el mismo que el de las primeras cuatro cartas, así que hay $\binom{13-1}{1}$ maneras de elegir su valor. Por otra parte, su palo lo podemos elegir de $\binom{4}{1}$ maneras. Así que hay $\binom{13-1}{1}\cdot \binom{4}{1}$ maneras de elegir esta quinta carta.
iii) Finalmente, teniendo en cuenta las dos etapas anteriores y aplicando otra vez el principio multiplicativo, deducimos que el número de casos favorables es igual a $$N(M_3)=\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{4}\right)\cdot \left(\binom{13-1}{1}\cdot \binom{4}{1}\right)=624$$
Por consiguiente la probabilidad de esta mano es$$P(\text{'Póquer'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_3)}{N}=\dfrac{\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{4}\right)\cdot \left(\binom{13-1}{1}\cdot \binom{4}{1}\right)}{\binom{52}{5}}\approx 2,401 \cdot 10^{-4}$$
$M_4$) Full. Tres cartes de igual valor y otras dos cartas de igual valor pero de distinto valor a las cartas del grupo de tres.
Ejemplo:
i) El grupo de tres cartas de igual valor lo podemos elegir del siguiente número de maneras. Hay $\binom{13}{1}$ posibilidades a la hora de escoger el valor, y $\binom{4}{3}$ posibilidades a la hora de elegir sus respectivos palos. Por el principio multiplicativo hay pues $\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{3}$ ordenaciones posibles del trío.
ii) El grupo de dos cartas de igual valor lo podemos elegir del siguiente número de maneras. Hay $\binom{13-1}{1}$ posibilidades a la hora de escoger el valor, y $\binom{4}{2}$ posibilidades a la hora de elegir sus respectivos palos. Por el principio multiplicativo hay pues $\binom{13-1}{1} \cdot \binom{4}{2}$ ordenaciones posibles para dicho par de cartas.
iii) De los pasos anteriores, y aplicando de nuevo el principio multiplicativo, obtenemos el siguiente número de casos favorables: $$N(M_4)=\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{3}\right)\cdot \left(\binom{13-1}{1}\cdot \binom{4}{2}\right)=3744$$
Y de ello se obtiene la siguiente probabilidad $$P(\text{'Full'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_4)}{N}=\dfrac{\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{3}\right)\cdot \left(\binom{13-1}{1}\cdot \binom{4}{2}\right)}{\binom{52}{5}}\approx 1,4406 \cdot 10^{-3}$$
$M_5$) Color. Cinco cartas del mismo palo ( no es necesario que sus valores sean consecutivos ).
Ejemplo:
i) Podemos elegir los cinco valores de $\binom{13}{5}$ maneras y el palo de $\binom{4}{1}$ maneras, luego hay un total de $\binom{13}{5}\cdot \binom{4}{1}$
ii) Tengamos en cuanta, sin embargo, que la cantidad calculada anteriormente incluye las $36$ escaleras de color. Restando pues las escalaeras de color obtenemos que el número de casos favorables es $$N(M_5)=\left(\binom{13}{5}\cdot \binom{4}{1}\right)-40=5108$$
La probabilidad de obtener esta mano es pues $$P(\text{'Color'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_5)}{N}=\dfrac{\binom{13}{5}\cdot \binom{4}{1}-40}{\binom{52}{5}}\approx 1,9654 \cdot 10^{-3}$$
$M_6$) Escalera. Cinco cartas de valores consecutivos ( sin atender al palo ).
Ejemplo:
i) Sabemos que se pueden formar $10$ escaleras atendiendo al valor de las cinco cartas
ii) Por otra parte, para cada una de dichas escaleras, como el palo puede ser en principio cualquiera de los cinco, tenemos $VR_{4,5}=4^5=1024$ posibilidades
iii) Luego, por el principio multiplicativo, hay un total de $10\cdot VR_{4,5}=10\,240$
iv) Ahora bien, debemos restar los $40$ casos de escaleras de color, por tanto el número de casos favorables es $$N(M_6)=10\cdot VR_{4,5}-40=10\,200$$
Luego la probabilidad de obtener esta mano es pues $$P(\text{'Escalera'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_6)}{N}=\dfrac{10\cdot VR_{4,5}-40}{\binom{52}{5}}\approx 3,9246 \cdot 10^{-3}$$
$M_7$) Trío. Tres cartas del mismo valor (y las otras dos de valores distintos).
Ejemplo:
i) Hay $\binom{13}{1}$ maneras de elegir el valor de las tres cartas ( del trío )
ii) Por cada una de las posibilidades de (i) hay $\binom{4}{3}$ maneras de elegir el palo
iii) Luego, de (i) y (ii), aplicando el principio multiplicativo, tenemos $\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{3}$
iv) En cuanto a las otras dos cartas, hay $\binom{13-1}{2}$ posibilidades para elegir sus dos valores y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\left(\binom{4}{1}\right)^2$ para elegir el palo de cada una de las dos cartas.
v) Finalmente, de (iii) y (iv), por el principio multiplicativo, llegamos al número de casos favorables para la mano de trío: $$N(M_7)=\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{3}\right)\cdot\left(\binom{13-1}{2}\cdot \left(\binom{4}{1}\right)^2 \right) =54\,912$$
Así pues, la probabilidad de obtener esta mano es $$P(\text{'Trío'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_7)}{N}=\dfrac{\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{3}\right)\cdot\left(\binom{13-1}{2}\cdot \left(\binom{4}{1}\right)^2 \right)}{\binom{52}{5}}\approx 2,1128 \cdot 10^{-2}$$
$M_8$) Doble pareja. Un par de cartas con el mismo valor y otro par con un mismo valor, si bien distinto al del primer par. Y la quinta carta de cualquier otro valor y palo.
Ejemplo:
i) Los valores de las cartas de las dos parejas los podemos elegir de $\binom{13}{2}$ maneras y, para cada una de esas posibilidades, los palos de una y otra de $\left(\binom{4}{2}\right)^2$ maneras, luego, por el principio multiplicativo, hay $\binom{13}{2}\cdot \left(\binom{4}{2}\right)^2$ posibilidades para elegir las cuatro cartas de las dos parejas
ii) El valor de la quinta carta se puede elegir de $\binom{13-2}{1}$ maneras y hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir su palo; por tanto, y ( otra vez ) por el principio multiplicativo, hay $\binom{13-2}{1}\cdot \binom{4}{1}$ maneras de elegir esa quinta carta
iii) De las dos etapas de recuento anteriores y empleando nuevamente el principio multiplicativo obtenemos que el número de casos favorables es $$N(M_8)=\left(\binom{13}{2}\cdot \left(\binom{4}{2}\right)^2\right)\cdot \left(\binom{13-2}{1}\cdot \binom{4}{1}\right) =123\,552$$
Por tanto, la probabilidad pedida es igual a Así pues, la probabilidad de obtener esta mano es $$P(\text{'Doble pareja'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_8)}{N}=\dfrac{\left(\binom{13}{2}\cdot \left(\binom{4}{2}\right)^2\right)\cdot \left(\binom{13-2}{1}\cdot \binom{4}{1}\right)}{\binom{52}{5}}\approx 4,7539 \cdot 10^{-2}$$
$M_9$) Pareja. Un par de cartas con el mismo valor y otras tres con valores distintos.
Ejemplo:
i) Podemos elegir el valor de las cartas de la pareja de $\binom{13}{1}$, y los palos de esas dos cartas de $\binom{4}{2}$ maneras. Por tanto, y por el principio multiplicativo, hay $\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{2}$ posibilidades de elección de la pareja.
ii) Hay $\binom{13-1}{3}$ posibilidades de elegir los valores de las tres cartas restantes, y $\binom{4}{1}$ posibilidades de elegir el palo para cada una de las tres, luego por el principio multiplicativo, tenemos $\binom{13-1}{3} \cdot \left( \binom{4}{1}\right)^3$ maneras de elegir las tres cartas que completan el quinteto.
iii) Finalmente, de (i) y (ii) y ( otra vez ) por el principio multiplicativo, llegamos al número de casos favorables para la mano de Pareja: $$N(M_9)=\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{2}\right)\cdot \left( \binom{13-1}{3} \cdot \left( \binom{4}{1}\right)^3 \right) =1\,098\,240$$ Luego la probabilidad pedida es igual a $$P(\text{'Pareja'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_9)}{N}=\dfrac{\left(\binom{13}{1}\cdot \binom{4}{2}\right)\cdot \left( \binom{13-1}{3} \cdot \left( \binom{4}{1}\right)^3 \right)}{\binom{52}{5}}\approx 4,2257 \cdot 10^{-1}$$
$M_{10}$) Carta alta. Menos que Pareja.
Ejemplo: Decide la carta de mayor valor que, en este ejemplo, es el '9'.
Ésta es la mano de menor valor, luego el número de casos que le corresponde es igual al complemento a $N=\binom{52}{5}=2\,598\,960$ de la suma de los casos favorables de las manos de mayor valor. Así,
$N(M_{10})=N-(N(M_{1})+N(M_{2})+N(M_{3})+N(M_{4})+$
$+N(M_{5})+N(M_{6})+N(M_{7})+N(M_{8})+N(M_{9})$
$=2\,598\,960-1\,296\,334$
$=1\,302\,626$
Por consiguiente, la probabilidad de esta mano que ocupa el último lugar en la clasificación es igual a $$P(\text{'Carta alta'})\overset{Laplace}{=}\dfrac{N(M_{10})}{N}=\dfrac{1\,302\,626}{\binom{52}{5}}\approx 5,0121 \cdot 10^{-1}$$
$\square$
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