La distribución binomial negativa en el lanzamiento repetido de una moneda

ENUNCIADO. Lanzando repetidamente una moneda ( la probabilidad de salir cara en un lanzamiento es $p$ ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan $i$ caras antes que $j$ cruces ?

SOLUCIÓN. Otra vez nos encontramos con la distribución binomial negativa ( véase la entrada anterior ). Tengamos en cuenta que antes de la $i$-ésima cara, habrán aparecido $i-1$ caras y $k$ cruces ( $0 \le k \le j-1$ ). Entendemos ahora un 'fracaso' como la aparición de cara. Sumando todos los posibles 'fracasos' obtenemos: $$\displaystyle \sum_{k=0}^{j-1}\,\binom{i-1+k}{i-1}\cdot p^i \cdot (1-p)^{k}$$

$\square$