Las probabilidades del póquer de dados

ENUNCIADO.
Un dado de póquer consta de $6$ caras cuyas puntuaciones de menor a mayor son: 9,10,$J$,$Q$,$K$ y $A$. El Póquer con dados se juega con $5$ dados. Al lanzar los cinco dados se pueden obtener los siguientes juegos ( que vienen a ser las manos de los naipes ):
$J_1$) Repóquer (cinco puntuaciones iguales)
$J_2$) Póquer (cuatro iguales)
$J_3$) Full (tres iguales y un par)
$J_4$) Escalera ( que puede ser escalera mayor [10,$J$,$Q$,$K$,$A$], o bien escalera menor escalera menor: [9,10,$J$,$Q$,$K$] )
$J_5$) Trío
$J_6$) Doble pareja
$J_7$) Pareja
Calcular las probabilidades de los ocho juegos.

SOLUCIÓN.
Consideramos los dados distinguibles, luego vamos a tener en cuenta el orden de aparición de las puntuaciones al lanzar los cinco dados. El espacio muestral $\Omega$ está formado por el conjunto de puntuaciones $[x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5]$ ( sucesos elementales ), donde $x_i \in \{9,10,J,Q,K,A\}$ para $i=1,2,\ldots,5$. Dichos sucesos son equiprobables, por lo que podremos emplear la regla de Laplace para asignar ( calcular ) las probabilidades. El número de casos favorables ( cardinal del espacio muestral ) es $N=VR_{6,5}=6^5=7\,776$. A continuación, vamos a calcular el número de casos favorables de cada juego para, finalmente, calcular la probabilidad del mismo, mediante la regla de Laplace $$P(J)=\dfrac{N(J)}{N}$$

$J_1$) Repóquer. Hay $6$ casos favorables a este suceso ( Repóquer ): $99999,1010101010,JJJJJ,QQQQQ,KKKKK$ y $AAAAA$, luego $N(J_1)=6$ y por tanto $$P(J_1)=\dfrac{6}{6^5}=\dfrac{1}{6^4} \approx 7,7160\cdot 10^{-4}$$

$J_2$) Póquer. Podemos elegir el valor de las cuatro puntuaciones iguales de $6$ maneras distintas, y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\binom{5}{4}$ maneras de elegir los cuatro dados con dicha puntuación, con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $6\cdot \binom{5}{4}$ posibilidades para formar las cuatro puntuaciones iguales. Por otra parte, la quinta puntuación se puede elegir de $6-1$ maneras, pues debe ser distinta de las cuatro primeras. Así, que aplicando ( otra vez ) el principio multiplicativo, el número de casos favorables es $N(J_2)=6\cdot \binom{5}{4}\cdot (6-1)=150$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_2)=\dfrac{6\cdot \binom{5}{4}\cdot (6-1)}{6^5}=1,9290\cdot 10^{-2}$$

$J_3$) Full. Podemos elegir el valor de las tres puntuaciones iguales de $6$ maneras distintas, y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\binom{5}{3}$ maneras de elegir los tres dados que dan dicha puntuación, con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $6\cdot \binom{5}{3}$ posibilidades para formar las tres puntuaciones iguales ( los otros dos dados que dan las otras dos puntuaciones quedan ya fijados ). Por otra parte, la puntuación de la pareja se puede elegir de $6-1$ maneras, pues debe ser distinta de las tres primeras. Así, que aplicando ( otra vez ) el principio multiplicativo, el número de casos favorables es $N(J_3)=6\cdot \binom{5}{3}\cdot (6-1)=300$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_3)=\dfrac{6\cdot \binom{5}{3}\cdot (6-1)}{6^5}=3,8580\cdot 10^{-2}$$

$J_4$) Escalera. Podemos elegir el valor de las cinco putuanciones escalonadas ( escalera mayor o bien escalera menor ) de $V_{6,5}=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 = 720$ maneras distintas, luego $N(J_4)=720$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_4)=\dfrac{V_{6,5}}{6^5}=9,2593\cdot 10^{-2}$$


$J_5$) Trío. Podemos elegir el valor de las tres puntuaciones iguales de $6$ maneras distintas, y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\binom{5}{3}$ maneras de elegir los tres dados que dan dicha puntuación, con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $6\cdot \binom{5}{3}$ posibilidades para formar las tres puntuaciones iguales ( los otros dos dados que dan las otras dos puntuaciones quedan ya fijados ). Por otra parte, la cuarta puntuación se puede elegir de $6-1$ maneras, pues debe ser distinta de las tres primeras, y la quinta se pude elegir por tanto de $6-2$ maneras. Así, que aplicando ( otra vez ) el principio multiplicativo, el número de casos favorables es $N(J_5)=6\cdot \binom{5}{3}\cdot (6-1)\cdot (6-2)=1\,200$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_5)=\dfrac{6\cdot \binom{5}{3}\cdot (6-1)\cdot (6-2)}{6^5}=1,5432\cdot 10^{-1}$$

$J_6$) Doble pareja. Podemos elegir el valor de las cuatro caras que forman las dos parejas ( de valores iguales dos a dos ) de $\binom{6}{2}$ maneras distintas, y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\binom{5}{2}$ maneras de elegir los dos dados que dan la puntuación de la primera pareja y $\binom{5-2}{2}$ de elegir la puntuación de la segunda pareja, con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $6\cdot \binom{6}{2}\cdot \binom{5}{2}\cdot \binom{5-2}{2}$ posibilidades para formar las dos parejas. Por otra parte, la quinta puntuación se pude elegir por tanto de $6-2$ maneras. Así, que aplicando ( otra vez ) el principio multiplicativo, el número de casos favorables es $N(J_6)=6\cdot \binom{6}{2}\cdot \binom{5}{2}\cdot \binom{5-2}{2}\cdot (6-2)=1\,800$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_6)=\dfrac{6\cdot \binom{6}{2}\cdot \binom{5}{2}\cdot \binom{5-2}{2}\cdot (6-2)}{6^5}=2,3148\cdot 10^{-1}$$

$J_7$) Pareja. Podemos elegir el valor de las dos caras que forman la pareja de $6$ maneras distintas, y, por cada una de esas posibilidades, tenemos $\binom{5}{2}$ maneras de elegir los dos dados que dan la puntuación de la pareja, con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $6\cdot \binom{5}{2}$ posibilidades para formar la pareja. Por otra parte, la tercera puntuación se pude elegir por tanto de $6-1$ maneras, la cuarta de $6-2$ y la quinta de $6-3$ maneras distintas. Así, que aplicando ( otra vez ) el principio multiplicativo, el número de casos favorables es $N(J_7)=6\cdot \binom{5}{2}\cdot (6-1)\cdot (6-2)\cdot (6-3)=3\,600$. Y, por tanto, la probabilidad pedida es $$P(J_7)=\dfrac{6\cdot \binom{5}{2}\cdot (6-1)\cdot (6-2)\cdot (6-3)}{6^5}=4,6296\cdot 10^{-1}$$
$\square$