Sobre la distribución geométrica o de Pascal

ENUNCIADO. Efectuamos lanzamientos repetidos de una moneda. La probabilidad de que aparezca cara en un lanzamiento es $p$. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera cara aparezca en el $k$-ésimo lanzamiento ( $k \ge 1$ ) ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera cara aparezca antes del $k+1$-ésimo lanzamiento ?
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera cara aparezca después del $k$-ésimo lanzamiento ?
d) ¿ Cual es el valor esperado de la variable aleatoria "la primera cara aparece en el $k+1$-ésimo lanzamiento", si $p=\dfrac{1}{2}$ ?

SOLUCIÓN.
La situación se ajusta perfectamente al modelo geométrico ( o de Pascal ) de variable aleatoria. Designamos por $X$ la variable aleatoria cuyos valores corresponden al lanzamiento en que aparece la primera cara, así $X=\{1,2,3,\ldots,\}$. Entonces:

a) $P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}\cdot p$, donde $k\ge 1$

b)
$P\{X\le k\}=p+(1-p)\cdot p + (1-p)^2\cdot p+\overset{\underbrace{k}}{\ldots}+(1-p)^{k-1}\cdot p$

  $=p\left(1+(1-p) + (1-p)^2+\overset{\underbrace{k}}{\ldots}+(1-p)^{k-1}\right)$

  $=p\left(1+(1-p) + (1-p)^2+\overset{\underbrace{k}}{\ldots}+(1-p)^{k-1}\right)$

  $\overset{\text{suma prog. geométrica de razón} \; 1-p}{=} \quad p\cdot \left( 1 \cdot \dfrac{(1-p)^k-1}{(1-p)-1}\right) = 1-(1-p)^k $

En otras palabras, la función de distribución $F(k)$ viene dada por $$P\{X\le k\}=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,(1-p)^{i-1} \cdot p=1-(1-p)^k \quad,\quad (k\ge 1)$$

c)
P$\{X \succ k\}=1-P\{X\le k\}$
  $=1-\left(1-(1-p)^k\right)$
    $=(1-p)^k$

d)
Sabemos ( véanse la observación (2) ) que $E[X]=\dfrac{1-p}{p}$, y como $p=\dfrac{1}{2}$, obtenemos $E[X]=\dfrac{1-1/2}{1/2}=1$, lo cual indica que el número de lanzamientos esperado que resultan ser cruz antes de aparecer la primera cara es $1$.

OBSERVACIONES.
(1) Otra forma equivalente de formular la distribución geométrica -- quizás más cómoda para los cálculos -- consiste en preguntarse cuántos fracasos aparecen antes del primer éxito; en el caso que nos ocupa: cuántas cruces aparecen antes de la primera cara ?. Así, la variable aleatoria $X$ toma valores en el conjunto de los enteros no negativos $\{0,1,2,3,\ldots,\}$ y por tanto $P\{X=m\}=(1-p)^m\cdot p$ donde $m=0,1,2,\ldots$. Entonces, la función de distribución viene dada por $$F(k) \overset{\text{Definición}}{=}P\{X \le k \}=\displaystyle \sum_{j=0}^{m}\,(1-p)^j\cdot p$$ Denotando, por comodidad, por $q$ a $1-p$, $$P\{X \le k \}=\displaystyle \sum_{j=0}^{m}\,q^j\cdot p=p\cdot \left( 1+q+q^2+\ldots+q^m\right)=$$
  $=\overset{\text{suma de una p. geométrica de razón}\; q}{=}p\cdot \dfrac{q^{m+1}-1}{q-1}=$
    $=p\cdot \dfrac{q^{m+1}-1}{-p}=1-q^{m+1}=1-(1-p)^{m+1}$
Y, por tanto, $$P\{X \succ m\}=1-P\{X \le m\}=(1-p)^{m+1}$$
Démonos cuentas ahora que si pensamos en que la aparición de la primera cara se produce, a mucho tardar, en el $k$-ésimo lanzamiento, tenemos el número de cruces consecutivas que han tenido que aparecer antes, $m$, es $k-1$, luego [la probabilidad pedida en (b)] es igual a $\left(1-(1-p)^{m+1}\right)_{m=k-1}=1-(1-)^k$, que es el resultado obtenido en el desarrollo de dicho apartado.

(2) El valor esperado de $X$ se calcula aplicando la definición $$E[X] \overset{\text{Definición}}{=}\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}\, j\cdot P\{X=j\}=\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}\,j\cdot q^j \cdot p=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\displaystyle \sum_{j=0}^{m}\,j\cdot q^j \cdot p$$ Procedamos pues a calcular $$\displaystyle \sum_{j=0}^{m}\,j\cdot q^j \cdot p$$

$$\displaystyle \sum_{j=0}^{m}\,j\cdot q^j \cdot p=0+p\cdot q+2\cdot p q^2+3\cdot p \cdot q^3+\ldots+m \cdot p \cdot q^m$$ y sacando factor común de $p$ nos queda
$p\cdot ( 0+q+2\cdot q^2+3\cdot q^3+\ldots+m \cdot q^m )=$
$=p\cdot (q+ 2\cdot q^2+3\cdot q^3+\ldots+m \cdot q^m )$
Denotaremos por $S_m$ a la sumade los $m$ términos $$S_m=q+ 2\cdot q^2+3\cdot q^3+\ldots+m \cdot q^m \quad \quad (1)$$
Multiplicando por $\dfrac{1}{q}$ en ambos miembros, $$\dfrac{1}{q}\,S_m=1+ 2\cdot q+3\cdot q^2+\ldots+m \cdot q^{m-1} \quad \quad (2)$$ Restando ahora, miembro a miembro, (2) de (1) nos queda $$\dfrac{1}{q}\,S_m=(1+q+q^2+\ldots+q^{m-1})-m\,q^m$$ esto es $$\dfrac{1-q}{q}\,S_m=(1+q+q^2+\ldots+q^{m-1})-m\,q^m$$ sumando la serie geométrica del segundo miembro, $$\dfrac{1-q}{q}\,S_m=\dfrac{q^{m-1}-1}{q-1}-m\,q^m$$ luego $$S_m=\dfrac{q}{1-q}\cdot \dfrac{q^{m-1}}{q-1}+\dfrac{q}{(1-q)^2}-\dfrac{q}{1-q}\cdot m\cdot q^m$$ Pasando al límite, $$\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\,S_m=\lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{q}{1-q}\cdot \dfrac{q^{m-1}}{q-1}+\lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{q}{(1-q)^2}-\lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{q}{1-q}\cdot m\cdot q^m$$ Teniendo en cuenta que $q\prec 1$, los límites del primer y del tercer término del segundo miembro se anulan y sólo es distinto de cero el límite del segundo término, que es constante, por tanto, $$\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\,S_m=\lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{q}{(1-q)^2}=\dfrac{q}{(1-q)^2}=\dfrac{q}{p^2}$$ Recordemos que queda aún multiplicar por $p$ para obtener el resultado de $E[X]$, por consiguiene $$E[X]=p\cdot \dfrac{q}{p^2}=\dfrac{q}{p}=\dfrac{1-p}{p}$$


(3)
El cálculo de la varianza $V[X]\overset{\text{Definición}}{=}E[X^2]-(E[X])^2$, empleando las mismas técnicas para la suma de la serie geométrica que aparece, nos lleva al siguiente resultado $$V[X]=\dfrac{1-p}{p^2}$$
$\square$