Càlcul del nombre de rutes de $k$ trams entre dos nodes determinats d'una xarxa (graf valorat)

El càlcul del nombre de rutes de $k$ trams ($k=1,2,\ldots$) per anar d'un node a un altre d'un graf ve donat per la matriu potència $k$-ésima de la matriu del graf. El valor dels elements de la matriu resultant és igual al nombre de rutes de $k$ trams entre un node i un altre. Vegem dos exemples senzills, ambdós per a grafs ponderats (xarxes); l'un per a un graf orientat (arestes d'un sol sentit), el qual ve indicat, en cada aresta, per una fletxa) i l'altre per a un graf no orientat (totes les arestes són de doble sentit):

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Contraste de hipótesis con la distribución $\chi^2$. Test de la distribución normal

En este caso, por hipótesis fundamental entendemos que una distribución dada se ajusta a la distribución normal, lo cual suele denominarse también test de normalidad, si bien para esta finalidad existen también otros constrastes como, por ejemplo, el test de Kolmogorov.

Debemos seguir los siguientes pasos:

1. Recogemos $n\ge 5$ datos de una muestra de la población. De haber muchos datos, los agruparemos por clases (intervalos) tomando alrededor de $5$ intervalos
2. Decidimos el nivel de significación $\alpha$ del test -suele ser $0,05$, $0,01$ o $0,1$- el cual representa el error de tipo I, esto es, el de rechazar la hipótesis fundamental $H_0$ (la distribución en cuestión se ajusta a la distribución normal) siendo ésta, sin embargo, cierta.
3. Registramos las frecuencias observadas de los datos de la muestra $O_i$ para $i=1,\ldots,n$
4. Se calculan las frecuencias esperadas $E_i$ /$i=1,\ldots,n$), suponiendo cierta $H_0$
5. Calculamos el valor de $\displaystyle \chi^2_{\text{calculada}}:=\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$
6. Obtenemos el número de grados de libertad $\ell$ según la fórmula $\ell=c-1-p$, donde $c$ es el número de clases (intervalos) y $p$ es el número de parámetros característicos de la distribución del modelo poblacional de contraste, que, en el caso de la distribución normal son dos (la media $\mu$ y la disviación típica $\sigma$)
7. Consultamos finalmente las tablas de la distribución $\chi^2$, que muestran el área de la cola derecha de la función de distribución de la misma y que representa la probabilidad $P(\chi^2_{\text{calculada}}\gt \chi^2_{\alpha\,,\ell})$ buscando la abscisa (crítica) que corresponde al nivel de significación $\alpha$ que hemos decidido de antemano
8. Finalmente, si el valor de $\chi^2_{\text{calculada}}$ es menor que $\chi^2_{\alpha\,,\ell}$, éste cae fuera de la región crítica (a la izquierda del valor crítico) y por consiguiente, en tal caso, aceptaremos la hipótesis fundamentel $H_0$; en caso contrario, deberemos rechazarla

Referencias:
[1] Cuadras, C.M., Problemas de Probabilidad y Estadística. Inferencia Estadística (vol. 2), p. 237. PPU, 1991

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