Acerca de la aplicación lineal derivación de polinomios de grado $3$ $$\mathcal{D}:P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x] \rightarrow P_{\mathbb{R}}^{(2)}[x]$$, ¿cuál es la matriz asociada a dicha aplicación lineal con respecto a las bases canónicas respectivas de los espacios de partida y de llegada?
Con respecto a las bases canónicas $\{1,x,x^2,x^3\}$ del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ (de dimensión igual a $4$), y $\{1,x,x^2\}$ del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(2)}[x]$ (de dimensión igual a $3$), se tiene que $$\left\{\begin{matrix}\mathcal{D}(1)=0\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x)=1\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x^2)=0\,\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2\\ \mathcal{D}(x^3)=0\,\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2
\end{matrix}\right.$$
es decir,
$$\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2x\\3x^2\\\end{pmatrix} $$
luego la matriz asociada a la aplicación lineal es $D=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3\times 4}(\mathbb{R})$
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Redefinamos un poco esta aplicación lineal. Consideremos ahora la operación derivación de polinomios como el endomorfismo $$\mathcal{D}:P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x] \rightarrow P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$$ Me propongo demostrar que el conjunto de polinomios de grado $0$ constituye el núcleo de dicho endomorfismo
Con respecto a las base canónica $\{1,x,x^2,x^3\}$ del espacio vectorial de partida y de llegada $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ (de dimensión igual a $4$) se tiene que $$\left\{\begin{matrix}\mathcal{D}(1)=0\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x)=1\,\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x^2)=0\,\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\ \mathcal{D}(x^3)=0\,\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2+0\cdot x^3
\end{matrix}\right.$$
es decir,
$$\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2x\\3x^2\\\end{pmatrix} $$
luego, así las cosas, la matriz asociada a la aplicación lineal es $$D=\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})$$
Veamos quien es el núcleo del endomorfismo, que, como es sabido, representa el conjunto de elementos del espacio vectorial que son enviados cuya imagen es el elemento cero:
$$\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$
El rango de la matriz de los coeficientes es $3$, luego $\text{dim}(\text{Ker}(\mathcal{D}))=\text{dim}(P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x])-\text{rango}(D)=4-3=1$. Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos fácilmente $x_1=x_2=x_3=0$, quedando $\lambda:=x_4$ como el correspondiente parámetro libre; por consiguiente, las bases del núcleo del endomorfismo (subespacio vectorial del espacio vectorial $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$) son del tipo $ (0,0,0,\alpha) \,\forall \alpha \in \mathbb{R}$, con las cuales es evidente que con ellas sólo pueden describirse los polinomios de grado cero. Es decir, el conjunto de polinomios de grado cero (los números reales) constituyen el núcleo del endomorfismo derivación de polinomios (de $P_{\mathbb{R}}^{(3)}[x]$ en si mismo). Por supuesto, y generalizando, podemos decir lo mismo para la derivación en el espacio de polinomios de grado arbitrario $n$.
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Observación:
Observemos que la matriz de este endomorfismo, $\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0\end{pmatrix}$, no es diagonalizable al no cumplirse la condición necesaria y suficiente; en efecto, si calculamos los valores propios, solamente encontramos uno: $\lambda=0$
$$P(\lambda):=\begin{vmatrix}0-\lambda&0&0&0 \\ 1&0-\lambda&0&0 \\ 0&2&0-\lambda&0 \\ 0&0&3&-\lambda\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \lambda=0$$ con lo cual, el polinomio característico se escribe de la forma $P(\lambda)=\lambda^4$, siendo por tanto su multiplicidad igual a $m=4\neq \text{dim}(\text{Ker}(\mathcal{D}))=1$
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