Derivación de funciones implícitas

Consideremos que una variable $y$ sea función de otra, $x$, que, de manera implícita, venga dicha relación dada de la forma $F(x,y)=0$, ¿cuál es la derivada de $y$ con respecto a $z$, esto es, $y'_{x}$?

Hay una sola variable independiente, que es $x$. Bien, si $F(x,y)=0$, entonces $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy=0$ y por tanto $$\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,\dfrac{dy}{dx}=0$$ y entendiendo que $y'_x \equiv \dfrac{dy}{dx}$, podemos escribir $$\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,y'_x=0$$ luego $$y'_x=-\dfrac{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}}{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}}$$

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Ejemplo: Se quiere calcular $y'_x$ de la ecuación $x^2+y^2=1$

Parto pues de la función $F(x,y)=x^2+y^2-1$, escribiendo por tanto la ecuación de la forma $F(x,y)=0$, tenemos $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=2\,x$ y $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=2\,y$, luego $$y'_x=-\dfrac{2\,x}{2\,y}=-\dfrac{x}{y}$$

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Desde luego, podemos encontrarnos con más de dos variables, de las cuales más de una de ellas sean variable independiente. Sea, por ejemplo, $F(x,y,z)=0$; aparecen aquí tres variables, una de las cuales, $z$ depende de las otras dos, $z=f(x,y)$, siendos éstas últimas independientes. Voy a calcular pues $z'_x$ y $z'_y$

Para calcular $z'_x$, supondremos que la variable $y$ sea constante, luego el diferencial de dicha variable es nulo. Por supuesto, se cumplirá que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$ y teniendo en cuenta que $dy=0$, se tiene que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\cdot 0 +\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$, esto es, $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$. En consecuencia, $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,\dfrac{dz}{dx}=0$, que es lo mismo que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,z'_x=0$, luego $$z'_x=-\dfrac{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}}{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}}$$

De manera análoga, para calcular $z'_y$, supondremos que la variable $x$ sea constante, luego el diferencial de esta variable es nulo. Por supuesto, se cumplirá que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$ y teniendo en cuenta que $dx=0$, se tiene que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}\cdot 0 +\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$, esto es, $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}\,dy+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,dz=0$. En consecuencia, $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,\dfrac{dz}{dy}=0$, que es lo mismo que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}+\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}\,z'_y=0$, luego $$z'_x=-\dfrac{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}}{\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}}$$

Ejemplo: Se quiere ahora calcular $z'_x$ y $z'_y$, dada la ecuación $e^z+x^2\,y+z+5=0$

Parto pues de la función $F(x,y,z)=e^z+x^2\,y+z+5$, escribiendo por tanto la ecuación de la forma $F(x,y,z)=0$, procedo a calcular las derivadas parciales: $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=2\,x\,y$, $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=x^2$ y $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,z}=e^z+1$, luego $z'_x=-\dfrac{2\,x\,y}{e^z+1}$ y $z'_y=-\dfrac{x^2}{e^z+1}$

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Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.

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