Los operadores diferenciales lineales en el cálculo vectorial

Un aplicación lineal actúa de un espacio vectorial en otro, los dos definidos sobre un mismo cuerpo; en particular, un operador diferencial es una aplicación lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable. En este contexto, recordaré aquí la definición del el operador nabla, a partir del cual se definen, a su vez, los operadores gradiente, rotacional, divergencia y laplaciano. En lo que sigue, me centraré en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$.

El operador nabla se define como $\nabla:=\hat{i}\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}+\hat{j}\,\dfrac{\partial}{\partial\,y}+\hat{k}\,\dfrac{\partial}{\partial\,z}$

El vector gradiente de un campo (función) escalar $f$, se define como $$\nabla\,f:=\left( \hat{i}\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}+\hat{j}\,\dfrac{\partial}{\partial\,y}+\hat{k}\,\dfrac{\partial}{\partial\,z} \right)\,f=\hat{i}\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}+\hat{j}\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}+\hat{k}\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,z}$$

Dado un campo vectorial $\vec{F}=F_1\,\hat{i}+F_2\,\hat{j}+F_3\,\hat{k}$, se define la divergencia de dicho campo vectorial como el campo escalar $$\text{div}(\vec{F}):=\langle \nabla\,, \,\vec{F} \rangle = \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y}+\dfrac{\partial\,F_3}{\partial\,z}$$

Por otra parte, el rotacional de un campo vectorial $\vec{F}=F_1\,\hat{i}+F_2\,\hat{j}+F_3\,\hat{k}$ proporciona otro campo vectorial, dado por $\text{rot}(\vec{F}):=\nabla \times \vec{F}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial\,x} & \dfrac{\partial}{\partial\,y} & \dfrac{\partial}{\partial\,z}\\ F_1 & F_2 & F_3\end{vmatrix}$

Cabe recordar también la definición del operador de Laplace, $\nabla^2$, que actúa sobre una función (campo) escalar $f$ para dar otra función (campo) escalar: es la divergencia del gradiente, esto es $$\nabla^2\,f:=\langle \nabla\,,\,\nabla\,f\rangle=\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x^2}+\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y^2}+\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,z^2}$$

-oOo- Propiedades importantes:

1. $\nabla(f+g)=\nabla\,f+\nabla\,g$
2. $\nabla(k\,f)=k\,\nabla\,f$, siendo $k\,\in\mathbb{R}$
3. $\nabla(f\,g)=f\,\nabla\,g+g\,\nabla\,f$
4. $\nabla(f/g)=\dfrac{g\,\nabla\,f-f\,\nabla\,g}{g^2}$, para los puntos $\vec{x}\in \mathbb{R}^3$ en los que $g(\vec{x})\neq 0$
5. $\text{div}(\vec{F}+\vec{G})=\text{div}(\vec{F})+\text{div}(\vec{G})$
6. $\text{rot}(\vec{F}+\vec{G})=\text{rot}(\vec{F})+\text{rot}(\vec{G})$
7. $\text{div}(f\,\vec{F})=f\,\text{div}(\vec{F})+\nabla\,f$
8. $\text{div}\,(\vec{F} \times \vec{G})=\langle \vec{G}\,,\,\text{rot}(\vec{F} \rangle-\langle \vec{F}\,,\,\text{rot}(\vec{G} \rangle$
9. $\text{rot}(f\,\vec{F})=f\,\text{rot}(\vec{F})+\nabla\,f \times \vec{F}$
10. $\nabla^2\,(f\,g)=f\,\nabla^2\,g+g\,\nabla^2\,f+2\,(\langle \nabla\,f\,,\,\nabla\,g\rangle)$
11. $\text{div}(\nabla\,f \times \nabla\,g)=0$
12. $\text{div}(f\,\nabla\,g-g\,\nabla\,f)=f\,\nabla^2\,g-g\,\nabla^2\,f$

Propiedades muy importantes:

• El rotacional de un vector gradiente es el vector nulo: $\nabla \times \nabla\,f = \vec{0}$ (los campos gradientes son irrotacionales)
• La divergencia del rotacional (de una función vectorial) es el escalar cero: $\text{div}(\text{rot}(\vec{F}))=0$

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Referencias:

  [1] J.E. Marsden; E.J. Tromba, Cálculo vectorial, Pearson Educación S.A., Madrid, 2004.
  [2] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.

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