Ejemplo de análisis de los extremos relativos de una forma cúbica

En este artículo voy a encontrar los extremos relativos de la siguiente forma cúbica

$$z\equiv f(x,y)=x^3+y^3-9xy+27$$

Impongo las condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos:

$$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\partial,z}{\partial\,x}=0 \\ \dfrac{\partial,z}{\partial\,y}=0 \end{matrix}\right.$$

con lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{ \begin{matrix} x^2-3\,y=0 \\ -3x+y^2=0 \end{matrix}\right.$$

De la primera ecuación, podemos escribir $x=\sqrt{3\,y}$, y sustituyendo esta expresión en la segunda, llegamos a $y^2=3\,\sqrt{3\,y}$; elevando al cuadrado sendos miembros: $y^4=27\,y$, esto es, $y^4-27\,y=0$, que puede expresarse de la forma $y\,(y^3-27)=0\Leftrightarrow y=\left\{\begin{matrix}0 \Rightarrow x=0\\ 3\Rightarrow x=\pm\,3\end{matrix}\right.$

Acabamos de obtener pues los siguientes tres extremos: $A(0,0)$, $B(3,3)$ y $C(-3,3)$

Para averiguar la naturaleza de dichos extremos, calculo ahora el determinante de la matriz hessiana: $\text{det}(H)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2} & \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x\,\partial\,y} \\ \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y\,\partial\,x} & \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y^2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6x & -9 \\ -9 & 6y\end{vmatrix}$

Recordemos ahora el teorema de clasificación:

1. $f(x,y)$ presenta un máximo relativo en $P$ si $\text{det}(H)_P\gt0$ y $\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_P \lt0$
2. $f(x,y)$ presenta un mínimo relativo en $P$ si $\text{det}(H)_P\gt0$ y $\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_P \gt0$
3. $f(x,y)$ no presenta máximo ni mínimo en $P$ si $\text{det}(H)_P\lt 0$
4. Con sólo el teorema no es posible decidir en caso de que $\text{det}(H)_P=0$, por lo que habría que complementar el análisis con otros elementos

   Entonces, sustituyendo las coordenadas de los extremos relativos, procedo a calcular el valor correspondiente del determinante hessiano en cada punto encontrado:

   • $\text{det}(H)_A \lt 0 \therefore A$ no corresponde ni a un máximo ni a un mínimo; se trata de un punto de silla
   • $\text{det}(H)_B\gt 0$ y $\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_B \gt 0 \therefore B$ corresponde a un mínimo local
   • $\text{det}(H)_c=\lt 0$ y $\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_C \gt 0 \therefore C$ corresponde a un máximo local

   $\diamond$