En este artículo voy a encontrar los extremos relativos de la siguiente forma cúbica z\equiv f(x,y)=x^3+y^3-9xy+27
Impongo las condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos: \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\partial,z}{\partial\,x}=0 \\ \dfrac{\partial,z}{\partial\,y}=0 \end{matrix}\right.
con lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \left\{ \begin{matrix} x^2-3\,y=0 \\ -3x+y^2=0 \end{matrix}\right.
De la primera ecuación, podemos escribir x=\sqrt{3\,y}, y sustituyendo esta expresión en la segunda, llegamos a y^2=3\,\sqrt{3\,y}; elevando al cuadrado sendos miembros: y^4=27\,y, esto es, y^4-27\,y=0, que puede expresarse de la forma y\,(y^3-27)=0\Leftrightarrow y=\left\{\begin{matrix}0 \Rightarrow x=0\\ 3\Rightarrow x=\pm\,3\end{matrix}\right.
Acabamos de obtener pues los siguientes tres extremos: A(0,0), B(3,3) y C(-3,3)
Para averiguar la naturaleza de dichos extremos, calculo ahora el determinante de la matriz hessiana: \text{det}(H)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2} & \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x\,\partial\,y} \\ \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y\,\partial\,x} & \dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y^2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6x & -9 \\ -9 & 6y\end{vmatrix}
Recordemos ahora el teorema de clasificación:
- f(x,y) presenta un máximo relativo en P si \text{det}(H)_P\gt0 y \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_P \lt0
- f(x,y) presenta un mínimo relativo en P si \text{det}(H)_P\gt0 y \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_P \gt0
- f(x,y) no presenta máximo ni mínimo en P si \text{det}(H)_P\lt 0
- Con sólo el teorema no es posible decidir en caso de que \text{det}(H)_P=0, por lo que habría que complementar el análisis con otros elementos
Entonces, sustituyendo las coordenadas de los extremos relativos, procedo a calcular el valor correspondiente del determinante hessiano en cada punto encontrado:
- \text{det}(H)_A \lt 0 \therefore A no corresponde ni a un máximo ni a un mínimo; se trata de un punto de silla
- \text{det}(H)_B\gt 0 y \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_B \gt 0 \therefore B corresponde a un mínimo local
- \text{det}(H)_c=\lt 0 y \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2}\right)_C \gt 0 \therefore C corresponde a un máximo local
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