Derivación de una función compuesta con una única variable independiente

En este artículo voy a suponer que en la función $z=f(x;y,u,v)$ de una sola variable independiente, $x$, de modo que las tres últimas, dependan de la primera, $y=\phi(x)$, $u=\Phi(x)$ y $v=\varphi(x)$. En estas condiciones, calcularé la derivada de la función con respecto de dicha variable independiente, esto es: $\dfrac{dz}{dx}$, o lo que es lo mismo, $z'_x$.

Así, la derivada pedida puede escribirse de la forma $$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\,\dfrac{dx}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{\partial\,y}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}$$ pero como, en realidad, $y$ depende únicamente de $x$, y lo mismo sucede con $u$ y $v$, bien podemos escribir que $\dfrac{\partial\,y}{\partial\,x}=\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}=\dfrac{du}{dx}$ y $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}=\dfrac{dv}{dx}$ lo anterior se traduce en

$$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}\,\dfrac{du}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}\,\dfrac{dv}{dx}$$

Ejemplo: Sea la función $z=x^2+\sqrt{y}$, donde $y=\sin(x)$. Voy a calcular $z'_x$. Entonces, según lo anterior, $z'_x\equiv \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{dy}{dx}=2x+\dfrac{1}{2\,\sqrt{\sin(x)}}\,\cos(x)$

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