Un ejemplo de cálculo y análisis de los puntos críticos de una forma cuádrica

En este ejercicio me propongo determinar los puntos críticos de la siguiente función de varias variables, que corresponde a una forma cuádrica $$f(x,y)\equiv z=x^2-xy+y^2+3x-2y+1$$ clasificándolos según su naturaleza (máximos o mínimos)

Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones (condición necesaria) $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\partial z}{\partial x}=0\\\dfrac{\partial z}{\partial y}=0\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}2x-y+3=0\\-x+2y-2=0\end{matrix}\right.$$ del cual se obtiene un único punto crítico, $P(-\frac{4}{3},\frac{1}{3})$

Para saber qué tipo de punto crítico es, recurrimos al teorema de clasificación: Calculando el determinante de la matriz Hessiana en el punto crítico $$\text{det}(H)_P:=\begin{vmatrix}\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2} \right)_P & \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x\,\partial\,y} \right)_P\\ \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y\,\partial\,x} \right)_P & \left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y^2} \right)_P \end{vmatrix}$$ y, por comodidad, denotando: $a:=\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x^2} \right)_P$, $b:=\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,x\,\partial\,y}\right)_P=\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y\,\partial\,x}\right)_P$ y $c:=\left(\dfrac{\partial^2\,z}{\partial\,y^2} \right)_P$, se tiene que dicho determinante en el punto $P$ viene dado por $ac-b^2$. Entonces:

1. $f(x,y)$ presenta un máximo relativo en $P$ si $\text{det}(H)_P\gt0$ y $a\lt0$
2. $f(x,y)$ presenta un mínimo relativo en $P$ si $\text{det}(H)_P\gt0$ y $a\gt0$
3. $f(x,y)$ no presenta máximo ni mínimo en $P$ si $\text{det}(H)_P\lt 0$
4. Con tan sólo el teorema no es posible decidir en caso de que $\text{det}(H)_P=0$, por lo que habría que complementar el análisis con otros elementos

En el caso que nos ocupa, vemos que $a=2$, $b=-1$ y $c=2$, por lo que $\text{det}(H)_P=3\gt 0$ y al ser $a\gt 0$, con lo cual deducimos, por $(2)$, que la función tiene un mínimo relativo en el punto $P(-\frac{4}{3},\frac{1}{3})$. Y sustituyendo las coordenadas de dicho punto en la función, vemos que el valor de dicho mínimo relativo es igual a $-\dfrac{4}{3}$

$\diamond$