Un ejemplo de desarrollo de Taylor de una función de varias variables alrededor de un cierto punto del espacio afín euclídeo

En este ejercicio voy a desarrollar por Taylor, hasta el segundo orden, la función de varias variables $f(x,y)=\sin(x+2y)$ (definida en $U\subset \mathbb{R}^2$ sobre $\mathbb{R}$) en el entorno de $\vec{x_0}$, siendo éste $\vec{0}=(0,0)$

Por el teorema de Taylor se sabe que el desarrollo en el entorno de $\vec{x_0}$ hasta el segundo orden se escribe de la forma $\displaystyle f(\vec{x_0}+\vec{h})=f(\vec{x_0})+\sum_{i=1}^{2}\,h_i\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x_i}(\vec{x_0})+\dfrac{1}{2}\,\sum_{i,j=1}^{2}\,h_i\,h_j\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x_i\,\partial\,x_j}(\vec{x_0})+R_2\,(\vec{0}\,,\,\vec{h})$, donde $\vec{h}=(h_1,h_2)$ y siendo $R_2(\vec{x_0}\,\vec{h})$ el término de error

En el caso concreto que nos ocupa,
$\displaystyle f(\vec{0}+\vec{h})=f(\vec{0})+\sum_{i=1}^{2}\,h_i\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x_i}(\vec{0})+\dfrac{1}{2}\,\sum_{i,j=1}^{2}\,h_i\,h_j\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x_i\,\partial\,x_j}(\vec{0})+R_2\,(\vec{0}\,,\,\vec{h})$

El valor de la función en $\vec{0}$ es $f(0,0)=\sin(0+2\cdot 0)=\sin(0)=0$. Recordemos también que las derivadas cruzadas son iguales: $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{x_0})=\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y\,\partial\,x}(\vec{x_0})$, es decir $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{0})=\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y\,\partial\,x}(\vec{0})$, con lo cual, en el sumatorio de las derivadas cruzadas del desarrollo se tiene que $\dfrac{1}{2}\,h_1\,h_2\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{x_0})+\dfrac{1}{2}\,h_1\,h_2\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y\,\partial\,x}(\vec{x_0})=2\cdot \dfrac{1}{2}\,h_1\,h_2\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{x_0})=h_1\,h_2\,\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{x_0})$

Calculando las derivadas paricales,

•   $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}=\cos(x+2y)$, luego $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}(\vec{0})=\cos(0+2\cdot 0)=\cos(0)=1$
  
•   $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=2\,\cos(x+2y)$, luego $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}(\vec{0})=2\,\cos(0+2\cdot 0)=2\,\cos(0)=2$
  
•   $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial^2\,x}=\dfrac{\partial\,\cos(x+2y)}{\partial\,x}=-\sin(x+2y)$, luego $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial^2\,x}(\vec{0})=-\sin(0+2\cdot 0)=-\sin(0)=0$
  
•   $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial^2\,y}=\dfrac{\partial\,(2\,\cos(x+2y))}{\partial\,y}=-2\cdot 2\sin(x+2y)=-4\,\sin(x+2y)$, luego $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial^2\,y}(\vec{0})=-4\,\sin(0+2\cdot 0)=-4\,\sin(0)=-4\,\cdot 0=0$
  
•   $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}=\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y\,\partial\,x}=\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,\left(\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial\,y}\,\left( \cos(x+2y) \right)=-2\,\sin(x+2y)$, luego $\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,x\,\partial\,y}(\vec{0})=\dfrac{\partial^2\,f}{\partial\,y\,\partial\,x}(\vec{0})=-2\,\sin(0+2\cdot 0)=-\sin(0)=0$
  

El desarrollo pedido queda pues de la forma $f(\vec{0}+\vec{h})=f(\vec{h})=0+h_1+2\,h_2+0+0+0+R_2\,(\vec{0},\vec{h})=h_1+2\,h_2+R_2\,(\vec{0},\vec{h})=0$ cuando $\vec{h}=(h_1\,h_2) \rightarrow (0,0)$, donde $\dfrac{R_2\,(\vec{0},\vec{h})}{\left\|\vec{h}\right\|^2}\rightarrow \,0$ (cuando $\vec{h} \rightarrow \vec{0}$)
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