Derivadas parciales de orden superior de una función de varias variables independientes

Se considera una función $u=f(x,y,z)$, siendo $x,y$ y $z$ variables independientes. A modo de ejemplo, y siendo $u=z^2\,e^{x+y^2}$, voy a calcular una derivada parcial de orden $4$, por ejemplo $\dfrac{\partial^4\,u}{\partial^2\,x\,\partial\,y\,\partial\,z}$

Derivando en orden, de derecha a izquierda:
  $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,z}=2z\,e^{x+y^2}$
    $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y\,\partial\,z}=\dfrac{\partial(2z\,e^{x+y^2})}{\partial\,y}=4yz\,e^{x+y^2}$
      $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x\partial\,y\,\partial\,z}=\dfrac{\partial\,(4yz\,e^{x+y^2})}{\partial\,x}=4yz\,e^{x+y^2}$
        $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x^2\,\partial\,y\,\partial\,z}=\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x\,\partial\,x\,\partial\,y\,\partial\,z}=\dfrac{\partial\,(4yz\,e^{x+y^2})}{\partial\,x}=4yz\,e^{x+y^2}$

$\diamond$