Un ejemplo de aplicación de la función $W$ de Lambert para resolver ecuaciones del tipo $x^{x^a}=b$

Me he encontrado, en concreto, con la siguiente ecuación: $x^{\sqrt[3]{x}}=2$. Teniendo en cuenta la propiedad que define la función $W$ de Lmabert: $W(e^{f(x)}\,f(x))=f(x)$, voy a resolverla en el conjunto de los números reales, empleando esta técnica

Me he encontrado, en concreto, con la siguiente ecuación:
  $x^{\sqrt[3]{x}}=2$
    $x^{x^{\frac{1}{3}}}=2$
      $\left( \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 \right)^{x^{\frac{1}{3}}}=2$
        $\left( x^{\frac{1}{3}}\right)^{3\,x^{\frac{1}{3}}}=2$
          $3\,x^{\frac{1}{3}}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2)$
            $x^{\frac{1}{3}}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2^\frac{1}{3})$
              $e^{\ln\,(x^{\frac{1}{3}})}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2^\frac{1}{3})$
                $W\left(e^{\ln\,(x^{\frac{1}{3}})}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})\right)=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                  $\ln\,(x^{\frac{1}{3}})=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                    $\frac{1}{3}\,\ln(x)=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                      $\ln(x)=3\,W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                        $\displaystyle x=e^{3\,W(\ln(2^\frac{1}{3}))}$
                          $\displaystyle x=e^{3\,W(\ln(\sqrt[3]{2})}\approx 1.7730$
$\diamond$