Una ecuación diferencial no homogénea transformable en homogénea mediante un cambio apropiado de variables

Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) no homogéneas pueden transformarse en homogéneas mediante un cambio de variable apropiado. En este ejemplo vamos a resolver una ecuación de ese tipo: $$(x+y-4)\,dx+(x-y)\,dy=0$$

Observemos que la razón por la que la ecuación diferencial en cuestión no es homogénea es que, aunque la función coeficiente $N(x,y)=x-y$ es una función homogénea (pues $N(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,x-\lambda\,y=\lambda\,(x-y)=\lambda\,N(x,y)$) , la función del otro coeficiente, $M(x,y)=x+y-4$, no es una función homogénea: $M(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,x+\lambda\,y+4 \neq \lambda\,M(x,y)$

Sin embargo, como las funciones de los coeficientes son funciones lineales afines, podemos transformar esta ecuación diferencial no homogénea, mediante el cambio de variables: $\left\{x=u+x_I \\ y=v+y_I\begin{matrix}\end{matrix}\right.$, donde $(x_I,y_I)$ son las coordenadas del punto de intersección, $I$, de las rectas $$\left\{\begin{matrix}r:& M(x,y)=0=0\\ s:& N(x,y)=0\end{matrix}\right.\;\text{esto es}\; \left\{\begin{matrix}r:& x+y-4=0\\ s:& x-y=0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que el punto de intersección es $I(2,2)$, es decir, $x_I=2$ y $y_I=2$. Entonces, el cambio de variables que vamos a realizar es $$\left\{\begin{matrix}x=u+2\\y=v+2\end{matrix}\right.$$

Así, la ecuación diferencial original se transforma en la siguiente: $(u+2+v+2-4)\,d(u+2)+(u+2-(v+2))\,d(v+2)=0$, que, simplificada queda $$(u+v)\,du+(u-v)\,dv=0$$ ecuación cuyas funciones coeficientes $M(u,v)=u+v$ y $N(u,v)=u-v$ sí son homogéneas, por lo que podemos decir que la ecuación diferencial transformada mediante el cambio de variables que hemos realizado es una ecuación diferencial homogénea (en las variables $u$ Y $v$).

La principal dificutad ya está salvada. Procedamos ahora a resolver la ecuación así transformada, que podemos escribir de la forma:
  $\dfrac{dv}{du}=-\dfrac{u+v}{u-v}$
que, diviendo el numerador y el denominador del segundo miembro entre $u$ nos queda
  $\dfrac{dv}{du}=-\dfrac{1+v/u}{1-v/u}$
A continuación mediante otro cambio de variable, $w=v/u$, transformaremos la ecuación anterior en una ecuación diferencial en variables separables:
  $\dfrac{u\,dw+w\,du}{du}=-\dfrac{1+w}{1-w}$, y dividiendo el numerador y el denominador del primer miembro por $du$, puede escribirse de la forma
    $u\,\dfrac{dw}{du}+w=-\dfrac{1+w}{1-w}$
      $u\,\dfrac{dw}{du}=-\dfrac{1+w}{1-w}-w$
        $u\,\dfrac{dw}{du}=-\left(\dfrac{1+w}{1-w}+w\right)$
          $u\,\dfrac{dw}{du}=-\dfrac{w^2-2w-1}{w-1}$
            $\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=-\dfrac{du}{u}$
Ahora, integremos sendos miembros con respecto a las respectivas variables:
  $\displaystyle \int\,\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=\int\,-\dfrac{du}{u}$
    $\displaystyle \int\,\dfrac{w-1}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2(w-1)}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
        $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2w-2}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
          $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{2w-2}{w^2-2w-1}\,dw=-\int\,\dfrac{du}{u}$
            $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{d(w^2-2w-1)}{w^2-2w-1}=-\int\,\dfrac{du}{u}$
              $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+C_1=-\ln(|u|)+C_2$
                $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+\ln(|u|)=C_2-C_1$, siendo $C_2-C_1$ la (única) constante de integración, que denotamos por $C$:
                  $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\ln(|w^2-2w-1|)+\ln(|u|)=C$
                    $\displaystyle \ln(|w^2-2w-1|)^{1/2}+\ln(|u|)=C$
                      $\displaystyle \ln(|u\cdot (w^2-2w-1)^{1/2}|)=C$
                        $\displaystyle \ln(|u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|)=C$, luego
                          $\displaystyle |u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|=e^C$
                            $\displaystyle \left(|u\cdot \sqrt{w^2-2w-1}|\right)^2=\left(e^C\right)^2$
                              $u^2\cdot (w^2-2w-1)=e^{2C}$
Por comodidad, denominemos $\widetilde{C}$ a la constante $e^{2C}$, y así, podemos escribir la solución general, en las variables $u$ y $v$ como:
$$u^2\cdot (w^2-2w-1)=\widetilde{C}$$ Hay que deshacer ahora los cambios de variable (recordemos que $w=v/u$), por lo que lo anterior queda:
  $u^2\cdot ((v/u)^2-2\,(v/u)-1)=\widetilde{C}$
    $u^2\cdot \dfrac{v^2-2\,uv-u^2}{u^2}=\widetilde{C}$
      $v^2-2\,uv-u^2=\widetilde{C}$
Y, finalmente, teniendo en cuenta que $u=x-2$ y $v=y-2$, llegamos a la solución general pedida: $$(y-2)^2-2\,(y-2)(x-2)-(x-2)^2=\widetilde{C}$$ esto es
  $-x^2+y^2+4x-2xy+2y-8=\widetilde{C}$
    $x^2-y^2-4x+2xy-2y+8=-\widetilde{C}$
      $x^2-y^2-4x+2xy-2y=-(\widetilde{C}+8)$
y agrupando $\widetilde{C}+8$ del segundo miembro en una única constante indeterminada (de integración), $k$:
$$x^2-y^2-4x+2xy-2y+k=0$$ ecuación que corresponde a una familia de cónicas. $\diamond$

Acerca del teorema del coseno: una demostración mediante el producto escalar euclídeo

Sea el triángulo $\triangle(ABC)$, donde $A,B$ y $C$ son puntos en el espacio afín euclídeo. En este artículo, y a modo de ejercicio, vamos a demostrar el teorema del coseno $$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC}})$$

Consideremos los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{AC}$, cuyos módulos, $\left\|\overrightarrow{AB}\right\|$, $\left\|\overrightarrow{BC}\right\|$ y $\left\|\overrightarrow{AC}\right\|$, corresponden (respectivamente) a las longitudes de los lados del triángulo $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$.

Evidentemente, los tres vectores están relacionados mediante la suma vectorial: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Partamos del producto escalar euclídeo: $\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}\rangle$, que, como ya sabemos, es igual al cuadrado del módulo de ese vector, $\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2$.

Por otra parte, $\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}\rangle= \langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle$. Desarrollemos el segundo miembro:
  $\langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle=$
    $=\langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle$
      $=\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\rangle + \langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}\rangle + 2\,\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle$
        $=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC}\right\|^2+ 2\,\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{BC}\right\|\cdot \cos(\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})})\quad (1)$
Ahora bien, tengamos en cuenta que $\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})}=\pi-\measuredangle{ABC}$, por tanto $\cos(\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})})=-\cos(\measuredangle{ABC})$.
Por lo tanto, podemos escribir $(1)$ de la forma:
$$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC})$$ y en consecuencia:
$$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC}})$$ $\diamond$

Otra desigualdad con módulos: $|z_1+z_2|\ge |z_1|-|z_2|$

En el artículo anterior a éste, hemos demostrado que $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2| \quad (1)$ (desigualdad triangular referida al módulo de los números complejos). Ahora, valiéndonos de dicho resultado, vamos a demostrar que $|z_1+z_2|\ge |z_1|-|z_2|$

Podemos escribir $z_1$ de la forma,
  $z_1=z_1+z_2+(-z_2)$
Entonces, por la desigualdad triangular $(1)$, se tiene que
  $|z_1|\le |z_1+z_2|+|-z_2|$
Y, como $|-z_2|=|z_2|$, lo anterior lleva a
  $|z_1|\le |z_1+z_2|+|z_2|$
Por tanto,
  $|z_1|-|z_2| \le |z_1+z_2|$
con lo cual
  $|z_1+z_2| \ge |z_1|-|z_2|$

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La desigualdad triangular con la operación módulo en el conjunto de los números complejos: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

Sean números complejos cualesquiera, $z_1=a_1+i\,b_1$, $z_2=a_2+i\,b_2;\, a_1,b_1,a_2,b_2\in \mathbb{R}$. Queremos demostrar que se cumple la desigualdad triangular con la operación módulo: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

  $|z_1+z_2|^2=$
    $=(z_1+z_2)\,\overline{(z_1+z_2)}$
      $=(z_1+z_2)\,(\overline{z_1}+\overline{z_2})$
        $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+z_1\,\overline{z_1}+z_2\,\overline{z_2}$
          $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (1)$

Desarrollando los dos primeros términos del segundo miembro:
  $z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}=$
    $=(a_1+\,i\,b_1)\,(a_2-i\,b_2)+(a_2+\,i\,b_2)\,(a_1-i\,b_1)$
      $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,(a_2\,b_1-a_1\,b_2+a_1\,b_2-a_2\,b_1)$
        $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,0$
          $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)$

Entonces, podemos escribir $(1)$ de la forma,
  $|z_1+z_2|^2=$
    $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (2)$

Por otra parte,
  $|z_1|\,|z_2|=$
    $=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}$
      $=\sqrt{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}$
        $=\sqrt{a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}+b_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{2}^{2}\,b_{1}^{2}}$
          $=\sqrt{(a_1\,a_2)^2+(b_1\,b_2)^2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
            $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,a_1\,a_2\,b_1\,b_2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
              $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,(a_1\,b_2)\,(a_2\,b_1) + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
                $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-((a_1\,b_2)-(a_2\,b_1))^2}$
                  $\ge \sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2}=a_1\,a_2+b_1\,b_2$
En consecuencia,
  $a_1\,a_2+b_1\,b_2 \le |z_1|\,|z_2|$

Por lo que, de $(2)$, se deduce que
  $|z_1+z_2|^2\le 2\,|z_1|\,|z_2|+|z_1|^2+|z_2|^2$
es decir,
  $|z_1+z_2|^2\le (|z_1|+|z_2|)^2 \Rightarrow |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$
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Módulo del cociente entre un número complejo no nulo y su conjugado

Sea $a-i\,b;\, a,b \in \mathbb{R}$ un número complejo no nulo. En estas condiciones, queremos demostrar que $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=1$

El complejo conjugado de $a-i\,b$ es $a+i\,b$ (y recíprocamente), luego $\left|a-i\,b \right|=\left|a+i\,b \right| \quad (1)$; por otra parte, sabemos que el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de los módulos de los mismos: $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\dfrac{\left|a+i\,b \right|}{\left|a-i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$. Y, de manera similar, $\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=\dfrac{\left|a-i\,b \right|}{\left|a+i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$   $\diamond$

Derivadas parciales de una función compuesta, con dos variables independientes

En este artículo voy a calcular las derivadas parciales de primer orden de la función $z=f(u,v)$, donde $u=\phi(x,y)$ y $v=\Phi(x,y)$, siendo $x$ e $y$ variables independientes

El problema es bien sencillo y la solución es inmediata: $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}=\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x} \quad (1)$$ $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}+\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,y} \quad (2)$$

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Ejemplo: Dada la función $z=f(x,y)=\ln\,(u^2+v)$, donde $u=e^{x+y^2}$ y $v=x^2+y$, siendo $x$ e $y$ variables independientes. Voy a calcular las derivadas parciales de primer orden: $\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}$ y $\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}$

Hago los cálculos: $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}=\dfrac{2u}{u^2+v}$, $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}=\dfrac{1}{u^2+v}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}=e^{x+y^2}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=2y\,e^{x+y^2}$, $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}=2x$ y $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,y}=1$

Con lo cual, sustituyendo en $(1)$ y $(2)$ se obtiene (después de operar y simplificar): $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}=2\,\dfrac{x+(e^{x+y^2})^2}{(e^{x+y^2})^2+x^2+y}$$ y $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}=\dfrac{4y\,(e^{x+y^2})^2+1}{(e^{x+y^2})^2+x^2+y}$$

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Derivación de una función compuesta con una única variable independiente

En este artículo voy a suponer que en la función $z=f(x;y,u,v)$ de una sola variable independiente, $x$, de modo que las tres últimas, dependan de la primera, $y=\phi(x)$, $u=\Phi(x)$ y $v=\varphi(x)$. En estas condiciones, calcularé la derivada de la función con respecto de dicha variable independiente, esto es: $\dfrac{dz}{dx}$, o lo que es lo mismo, $z'_x$.

Así, la derivada pedida puede escribirse de la forma $$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\,\dfrac{dx}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{\partial\,y}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}$$ pero como, en realidad, $y$ depende únicamente de $x$, y lo mismo sucede con $u$ y $v$, bien podemos escribir que $\dfrac{\partial\,y}{\partial\,x}=\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}=\dfrac{du}{dx}$ y $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}=\dfrac{dv}{dx}$ lo anterior se traduce en

$$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}\,\dfrac{du}{dx}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}\,\dfrac{dv}{dx}$$

Ejemplo: Sea la función $z=x^2+\sqrt{y}$, donde $y=\sin(x)$. Voy a calcular $z'_x$. Entonces, según lo anterior, $z'_x\equiv \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\,\dfrac{dy}{dx}=2x+\dfrac{1}{2\,\sqrt{\sin(x)}}\,\cos(x)$

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