Un ejemplo de aplicación de la función $W$ de Lambert para resolver ecuaciones del tipo $x^{x^a}=b$

Me he encontrado, en concreto, con la siguiente ecuación: $x^{\sqrt[3]{x}}=2$. Teniendo en cuenta la propiedad que define la función $W$ de Lmabert: $W(e^{f(x)}\,f(x))=f(x)$, voy a resolverla en el conjunto de los números reales, empleando esta técnica

Me he encontrado, en concreto, con la siguiente ecuación:
  $x^{\sqrt[3]{x}}=2$
    $x^{x^{\frac{1}{3}}}=2$
      $\left( \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 \right)^{x^{\frac{1}{3}}}=2$
        $\left( x^{\frac{1}{3}}\right)^{3\,x^{\frac{1}{3}}}=2$
          $3\,x^{\frac{1}{3}}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2)$
            $x^{\frac{1}{3}}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2^\frac{1}{3})$
              $e^{\ln\,(x^{\frac{1}{3}})}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})=\ln(2^\frac{1}{3})$
                $W\left(e^{\ln\,(x^{\frac{1}{3}})}\,\ln(x^{\frac{1}{3}})\right)=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                  $\ln\,(x^{\frac{1}{3}})=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                    $\frac{1}{3}\,\ln(x)=W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                      $\ln(x)=3\,W(\ln(2^\frac{1}{3}))$
                        $\displaystyle x=e^{3\,W(\ln(2^\frac{1}{3}))}$
                          $\displaystyle x=e^{3\,W(\ln(\sqrt[3]{2})}\approx 1.7730$
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Divisibilidad de polinomios de variable compleja

En este ejercicio voy a demostrar que el polinomio $P(x)=x^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,x\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$ es divisible por el polinomio $Q(x)=x^2-2\,\lambda\,x\cos\,\alpha+\lambda^2$

Voy a empezar factorizando el polinomio $Q(x)$, y, para ello, tengo que calcular sus ráices: $Q(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2\,\lambda\,\cos\,\lambda) \pm \sqrt{4\,(-\lambda\,\cos\,\alpha)^2-4\,\lambda^2}}{2}=\lambda\,(\cos\,\alpha \pm i\,\sin\,\alpha)$; por tanto, $Q(x)=(x-r_1)\,(x-r_2)$, donde $r_1=\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha)$ y $r_1=\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha)$

Entonces, para que $P(x)$ sea divisible (se un polinomio múltiplo de) $Q(x)$ es necesario que lo sea también por sus polinomios factores, $x-r_1$ y $x-r_2$; y, por el teorema del resto, deberá cumplirse que $P(r_1)=P(r_2)=0$. Y, en efecto, así es:

$P(r_1)=(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha)^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
  $=\lambda^n\,(\cos\,(n\alpha)+i\,\sin(n\alpha))\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
    $\because \text{por la fórmula de Moivre aplicada al primer sumando}$
    $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
      $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,(n\alpha-\alpha)$
        $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\left( \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
          $=\lambda^n\, \left( \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha) + \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
            $=\lambda^n\, \left( (\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha) + (\cos\,\alpha\, \sin\,(n\alpha) -\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)) \right)$
              $=\lambda^n\, \left( 0 + 0 \right)$
                $=0$

$P(r_2)=(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha)^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
  $=\lambda^n\,(\cos\,(n\alpha)-i\,\sin(n\alpha))\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
    $\because \text{por la fórmula de Moivre aplicada al primer sumando}$
    $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
      $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,(n\alpha-\alpha)$
        $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\left( \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
          $=\lambda^n\, \left( \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha) + \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
            $=\lambda^n\, \left( (\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha) + (\cos\,\alpha\, \sin\,(n\alpha) -\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)) \right)$
              $=\lambda^n\, \left( 0 + 0 \right)$
                $=0$
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Radicación de números complejos

Voy a calcular, como ejercicio, los valores de $\sqrt[4]{1}$ en el conjunto de los números complejos:

Sé que, siendo $z\in \mathbb{C}$, entonces existen $n$ valores (en $\mathbb{C}$) como resultado: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left( \cos\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\,\sin\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \right)$, con $k=0,1,2,\ldots,n-1$, donde $\varphi$ es el primer argumento de $z$. En este caso, como $z=1=1+i\,0$, se tiene que $|z|=1$ y $\varphi=\text{arctan}\,(\frac{0}{1})=\text{arctan}\,0=0$, con lo cual: $$\sqrt[4]{1}=\left\{\begin{matrix}\text{para}\,k=0,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+0\cdot 2\pi}{4}=0\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,0+i\,\sin\,0)=1 \\ \text{para}\,k=1,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+1\cdot 2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=i \\ \text{para}\,k=2,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+2\cdot 2\pi}{4}=\pi\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\pi+i\,\sin\,\pi)=-1 \\ \text{para}\,k=3,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+3\cdot 2\pi}{4}=\dfrac{3}{2}\,\pi \equiv -\dfrac{\pi}{2} \,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,(-\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})=-i\end{matrix}\right.$$

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Comprobación. La potencia de cada uno de los valores obtenidos, con exponente igual al índice del radical, ha de ser igual al argumento del mismo, que es $1$. En efecto:

• $1^4=1$
• $i^4=1^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1$
• $(-1)^4=1$
• $(-i)^4=((-1)\,i)^4=(-1)^4\cdot i^4=1\cdot 1=1$

Potenciación de números complejos

En este ejercicio voy a desarrollar la expresión $$\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8$$.

Para ello, expresaré el numerador y el denominador de la base de la potencia en forma exponencial (fórmula de Euler):
  $\displaystyle 1-i=|1-i|\cdot e^{i\cdot \text{arctan}(-1)}=\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}}$
  $\displaystyle 1+i=|1+i|\cdot e^{i\cdot \text{arctan}(1)}=\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}}$
con lo cual, la base de la potencia queda:
  $\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)=\dfrac{\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}}}=e^{-\frac{2\cdot\pi}{4}}=e^{-\frac{\pi}{2}}$ y por tanto,
  $\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8=\left( e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^8=e^{-\frac{8\cdot\pi}{2}}=e^{-4\pi}=\cos\,(-4\pi)+i\,\sin\,(-4\pi)=\cos\,(4\pi)-i\,\sin\,(4\pi)=$
    $=\cos\,(2\cdot 2\pi)-i\,\sin\,(2\cdot 2\pi)=1+0\,i=1$ $\diamond$

Un ejercicio para expresar en forma exponencial un número complejo dado en forma algebraica

En este ejercicio me propongo expresar el número complejo $z=-1-\sqrt{3}\,i$ (escrito en forma algebraica) en la forma exponencial.

Necesito calcular el módulo ($|z|$ o $\rho$) y el primer valor del argumento (o argumento principal), pues en la forma exponencial un número complejo se escribe de la forma $\displaystyle z=\rho \cdot e^{i\varphi}$. Entonces, $\rho=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=2$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)$ (o $\varphi$), de manera que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=-\sqrt{3}\lt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=-1\lt 0$, el afijo de $z$, está en el tercer cuadrante (diagrama de Argand), con lo cual $\varphi=\text{arctan}\,(\frac{-\sqrt{3}}{-1})-\pi=-\dfrac{2\,\pi}{3}$, con lo cual $$z= \displaystyle 2 \cdot e^{-i\,\dfrac{2\,\pi}{3}}$$ $\diamond$

Máximos/mínimos locales y máximos/minimos estrictos (globales) en funciones de varias variables

Consideremos el paraboloide hiperbólico $f(x,y)=x^2-y^2$, en el dominio $D=\{(x,y): x^2+y^2\le 1$. Como vemos en la figura, su superficie presenta una especie de collado en el punto $(0,0)$, que no es ni un máximo ni un mínimo local, pues si fijamos el valor de $x$ en $0$, en la proyección de la supeficie en el plano $Oyz$ se obtiene un mínimo local (de dicha curva), y si fijamos el valor de $y$ en $0$ en la proyección de la supeficie en el plano $Oxz$ se obtiene un máximo local (de esta curva), razón por la cual ese punto, $(0,0)$, no corresponde ni a un máximo local ni a un mínimo local: a ese puento se le denomina punto de silla.

No obstante, sí tiene dicha función $f(x,y)$ máximos y mínimos globales/estrictos en el dominio $D$: máximos en $(-1,0)$ y $(1,0)$, de valor igual a $1$; y, mínimos estrictos en los puntos $(0,-1)$ y $(0,1)$ cuyos valores son igual a $-1$. $\diamond$

Un ejercicio para expresar en forma trigonométrica un número complejo

Me propongo escribir el número complejo (dado en forma algebraica) $z=1-sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha$, siendo $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ en la forma trigonométrica: $z=\rho\,(\cos\,\varphi + i\,\sin\,\varphi)$

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): $\rho=|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(1-\sin\,\alpha)^2+(\cos\,\alpha)^2}=\sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)=\varphi$, conviniendo que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=1-\sin\,\alpha \gt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=\cos\,\alpha \gt 0$, el afijo de $z$, está en el primer cuadrante del plano de Argand. Sabemos que $\varphi:= \text{arctan}\,\left( \dfrac{\mathcal{Im}\,z}{\mathcal{Re}\,z}\right)=\text{arctan}\,\left( \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\right) \Rightarrow \tan\,\varphi=\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}$; y, haciendo uso de las identidades trigonométricas y algebraicas: $\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\,\alpha}}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}}{1-\sin\,\alpha}= \sqrt{ \dfrac{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}{(1-\sin\,\alpha)^2}}=$
$=\sqrt{ \dfrac{1-\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}{1-\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}}\overset{\text{(1)}}{=}-\dfrac{1}{\tan\,\left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)} \because \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$ es un ángulo del cuarto cuadrante; por lo tanto, $\tan\,\varphi \cdot \tan\, \left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)=-1$. Por otra parte, sabemos que, denotando $A:=\varphi$ y $B:=\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$, $\tan\,(A-B)\overset{\text{(2)}}{=}\dfrac{\tan\,A-\tan\,B}{1+\tan\,A \cdot \tan\,B}$; y teniendo en cuenta que $\tan\,A \cdot \tan\,B=-1$, el denominador de la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos se anula: $1+\tan\,A \cdot \tan\,B=0$, con lo cual $\tan\,(A-B)=\pm\,\infty$, pero, para ello, como $\tan\,(A-B):=\dfrac{\sin\,(A-B)}{\cos\,(A-B)}$, debe cumplirse que $\cos\,(A-B)=0$, y por tanto, $A-B=\dfrac{\pi}{2}$, esto es $\varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, de lo cual se desprende que $\varphi=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{4}$. Por consiguiente, $$1-\sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha= \sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}\cdot \left( \cos\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}) \right)$$

Aclaraciones:

1. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.43, p.20), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
2. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.36, p.19), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993

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