Me propongo escribir el número complejo (dado en forma algebraica) z=1-sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha, siendo 0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2} en la forma trigonométrica: z=\rho\,(\cos\,\varphi + i\,\sin\,\varphi)
Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): \rho=|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(1-\sin\,\alpha)^2+(\cos\,\alpha)^2}=\sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}. Calculo ahora el primer valor del argumento de z:
\text{arg}(z)=\varphi, conviniendo que -\pi \lt \varphi \le \pi. Como \mathcal{Im}(z)=1-\sin\,\alpha \gt 0 y \mathcal{Re}(z)=\cos\,\alpha \gt 0, el afijo de z, está en el primer cuadrante del plano de Argand. Sabemos que
\varphi:= \text{arctan}\,\left( \dfrac{\mathcal{Im}\,z}{\mathcal{Re}\,z}\right)=\text{arctan}\,\left( \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\right) \Rightarrow \tan\,\varphi=\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}; y, haciendo uso de las identidades trigonométricas y algebraicas: \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\,\alpha}}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}}{1-\sin\,\alpha}=
\sqrt{ \dfrac{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}{(1-\sin\,\alpha)^2}}=
=\sqrt{ \dfrac{1-\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}{1-\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}}\overset{\text{(1)}}{=}-\dfrac{1}{\tan\,\left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)} \because \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} es un ángulo del cuarto cuadrante; por lo tanto, \tan\,\varphi \cdot \tan\, \left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)=-1. Por otra parte, sabemos que, denotando A:=\varphi y B:=\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}, \tan\,(A-B)\overset{\text{(2)}}{=}\dfrac{\tan\,A-\tan\,B}{1+\tan\,A \cdot \tan\,B}; y teniendo en cuenta que \tan\,A \cdot \tan\,B=-1, el denominador de la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos se anula: 1+\tan\,A \cdot \tan\,B=0, con lo cual \tan\,(A-B)=\pm\,\infty, pero, para ello, como \tan\,(A-B):=\dfrac{\sin\,(A-B)}{\cos\,(A-B)}, debe cumplirse que \cos\,(A-B)=0, y por tanto, A-B=\dfrac{\pi}{2}, esto es \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2}, de lo cual se desprende que \varphi=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{4}. Por consiguiente, 1-\sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha= \sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}\cdot \left( \cos\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}) \right)
Aclaraciones:
- Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.43, p.20), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
- Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.36, p.19), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
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