Un ejercicio para expresar en forma trigonométrica un número complejo

Me propongo escribir el número complejo (dado en forma algebraica) $z=1-sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha$, siendo $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ en la forma trigonométrica: $z=\rho\,(\cos\,\varphi + i\,\sin\,\varphi)$

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): $\rho=|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(1-\sin\,\alpha)^2+(\cos\,\alpha)^2}=\sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)=\varphi$, conviniendo que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=1-\sin\,\alpha \gt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=\cos\,\alpha \gt 0$, el afijo de $z$, está en el primer cuadrante del plano de Argand. Sabemos que $\varphi:= \text{arctan}\,\left( \dfrac{\mathcal{Im}\,z}{\mathcal{Re}\,z}\right)=\text{arctan}\,\left( \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\right) \Rightarrow \tan\,\varphi=\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}$; y, haciendo uso de las identidades trigonométricas y algebraicas: $\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\,\alpha}}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}}{1-\sin\,\alpha}= \sqrt{ \dfrac{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}{(1-\sin\,\alpha)^2}}=$
$=\sqrt{ \dfrac{1-\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}{1-\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}}\overset{\text{(1)}}{=}-\dfrac{1}{\tan\,\left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)} \because \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$ es un ángulo del cuarto cuadrante; por lo tanto, $\tan\,\varphi \cdot \tan\, \left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)=-1$. Por otra parte, sabemos que, denotando $A:=\varphi$ y $B:=\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$, $\tan\,(A-B)\overset{\text{(2)}}{=}\dfrac{\tan\,A-\tan\,B}{1+\tan\,A \cdot \tan\,B}$; y teniendo en cuenta que $\tan\,A \cdot \tan\,B=-1$, el denominador de la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos se anula: $1+\tan\,A \cdot \tan\,B=0$, con lo cual $\tan\,(A-B)=\pm\,\infty$, pero, para ello, como $\tan\,(A-B):=\dfrac{\sin\,(A-B)}{\cos\,(A-B)}$, debe cumplirse que $\cos\,(A-B)=0$, y por tanto, $A-B=\dfrac{\pi}{2}$, esto es $\varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, de lo cual se desprende que $\varphi=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{4}$. Por consiguiente, $$1-\sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha= \sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}\cdot \left( \cos\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}) \right)$$

Aclaraciones:

1. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.43, p.20), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
2. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.36, p.19), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993

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Módulo y primer argumento de un número complejo. Algunos ejercicios

Voy a hallar el módulo, $|z|$ y el valor principal del argumento, $\text{arg}\,z$ o $\varphi$) (recordemos que $-\pi \lt \text{arg}\,z \le \pi$) de los siguientes números complejos:
a) $z=4+3i$; b) $z=-2+2\sqrt{3}\,i$; c) $z=-7-i$; d) $z=-\cos\,\dfrac{\pi}{5}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{5}$; e) $z=4-3\,i$; f) $z=\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha$; $\pi \lt \alpha \lt \dfrac{3}{2}\,\pi$

• (a) $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}$. Nota: El afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=3 \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=4 \gt 0$.
• (b) $|z|=\sqrt{(-2)^2+(2\,\sqrt{3})^2}=4$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{2\,\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{2}{3}\,\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el seguno cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=2\,\sqrt{3} \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-2 \lt 0$.
• (c) $|z|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=2\,\sqrt{5}$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{1}{7}-\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el tercer cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=-1 \lt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-7 \lt 0$.
• (d) $|z|=\sqrt{(-\cos\,\dfrac{\pi}{5})^2+(\sin\,\dfrac{\pi}{5})^2}=1$; $\varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{\sin\,\frac{\pi}{5}}{-\cos\,\frac{\pi}{5}}\right)=\text{arctan}\,\left(-\tan\,(\frac{\pi}{5})\right)=-\frac{\pi}{5}+\pi=\frac{4}{5}\,\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el segundo cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=\sin\,\frac{\pi}{5} \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-\cos\,\frac{\pi}{5} \lt 0$.
• (e) $|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{-3}{4}=-\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}$. Nota: El afijo de $z$ está en el cuarto cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=-3 \lt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=4 \gt 0$.
• (f) $|z|=\sqrt{(\cos\,\alpha)^2+(-\sin\,\alpha)^2}=1$; $\varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{-\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}\right)=\text{arctan}\,(-\tan\,\alpha)=-\alpha$, y, en consecuencia: $\varphi=2\,\pi-\alpha$, que pertenece al cuarto cuadrante, pues $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante. En efecto, como $\sin\,\alpha \lt 0$, se tiene que $-\sin\,\alpha \gt 0$, y, al ser $\cos\,\alpha \lt 0$, entonces $-\tan\,\alpha \lt 0$, luego $\varphi$ pertenece o bien al segundo cuadrante o bien al cuarto cuadrante, que es nuestro caso. $\diamond$

Forma trigonométrica de un número complejo

Voy a escribir el número complejo $z=1-\sqrt{3}\,i$ (escrito en forma algebraica) en la forma trigonométrica:

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): $|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)$ (o $\varphi$), de manera que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=-\sqrt{3}\lt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=1\gt 0$, el afijo de $z$, está en el cuarto cuadrante en el diagrama de Argand, con lo cual $\varphi=\text{arctan}\,(-\frac{\sqrt{3}}{1})=-\dfrac{\pi}{3}$, en consecuencia $z=|z|\cdot \left( cos\,(\varphi)+i\,\sin\,(\varphi) \right)=2\cdot (\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$. Obsérvese que si deshacemos el paréntesis se obtiene otra vez la expresión algebraica de $z$. $\diamond$

Relación entre las funciones tangente y tangente hiperbólica

En dos artículos precedentes [(1) y (2)] hemos visto la relación entre el seno y el seno hiperbólico, y entre el coseno y el coseno hiperbólico; ahora, justificaremos la relación entre la tangente y la tangente hiperbólica: $$\tan\,(z)=-i\,\tanh\,(iz)\quad \quad \tanh\,(z)=-i\,\tan\,(iz)$$ $$\tan\,(iz)=i\,\tanh\,(z)\quad \quad \tanh\,(iz)=i\,\tan\,(z)$$

Recordemos que:
  $\sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz)$
  $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$
  $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$
  $\cosh\,(z)=\cos\,(iz)$

Entonces, atendiendo a las definiciones de tangente y tangente hiperbólica:
  $\tan\,(z):=\dfrac{\sin\,(z)}{\cos\,(z)}=\dfrac{-i\,\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\tanh\,(iz)$
Cambiando $z$ por $iz$, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  $\tan\,(iz)=-i\,\tanh\,(i\,(iz))=-i\,\tanh\,(i^2\,z)=-i\,\tanh\,(-z)=-i\cdot (-\tanh\,(-z))=i\,\tanh\,(z)$

Por otra parte,
  $\tanh\,(z):=\dfrac{\sinh\,(z)}{\cosh\,(z)}=\dfrac{-i\,\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\tan\,(iz)$
Otra vez ahora con esta otra igualdad: cambiando $z$ por $iz$, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  $\tanh\,(iz)=-i\,\tan\,(i\,(iz))=-i\,\tan\,(i^2\,z)=-i\,\tan\,(-z)=-i\cdot (-\tan\,(-z))=i\,\tan\,(z)$

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Relación entre las funciones coseno y coseno hiperbólico

Siendo $z\in \mathbb{C}$, recordemos que la función coseno se puede escribir de la forma $\cos\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y la función coseno hiperbólico, que se define de la forma $\cosh\,(z):=\dfrac{e^z+e^{-z}}{2} \quad (1)$, se puede demostrar fácilmente que $\cos\,(iz)=\cosh\,(z)$ y $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$. En efecto:

$\cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y cambiando el argumento $z$ por $iz$ en ambos miembros de la igualdad podemos escribir $\cos\,(iz)=\dfrac{e^{i\,(iz)}+e^{-i\,(iz)}}{2}=\dfrac{e^{i^2\,z}+e^{-i^2\,z}}{2}=\dfrac{e^{(-1)\cdot z}+e^{-(-1)\,z}}{2}=\dfrac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}=:\cosh\,(z)$. De ahí se sigue también que $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$

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Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, $e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2)$, luego $e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3)$. Sumando, miembro a miembro, $(3)$ y $(2)$, se obtiene $e^{iz}+e^{-iz}=2\,\cos\,(z)$, con lo cual $\cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

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Relación entre las funciones seno y seno hiperbólico

Siendo $z\in \mathbb{C}$, recordemos que la función seno se puede escribir de la forma $\sin\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ y la función seno hiperbólico, que se define de la forma $\sinh\,(z):=\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}$, se puede demostrar fácilmente que $\sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz)$ y que $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$. En efecto:

$\sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \dfrac{i}{i}=i\cdot \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{-2}=-i\cdot \left(\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\right) \quad (1)$, pero el segundo factor (entre los paréntesis) es justamente la definición del seno hiperbólico, no de $z$, sino de $iz$, esto es, $\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\sinh\,(iz)$; por consiguiente, de $(1)$ se se sigue que, como se pedía, $$\sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)$$

De ahí se sigue también que, de la igualdad anterior, cambiando $z$ por $iz$:
  $\sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)$
    $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i\cdot (iz)$
      $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i^2\,z)$
        $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(-z)$
          $\sin\,(iz) = -i\cdot (-\sinh\,(z))$
            $\sin\,(iz) = i\cdot \sinh\,(z)$
              $i\,\sin\,(iz) = i\cdot i\, \sinh\,(z)$
                $i\,\sin\,(iz) = i^2\, \sinh\,(z)$
                  $i\,\sin\,(iz) = -\sinh\,(z)$
                    $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$
-oOo-

Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, $e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2)$, luego $e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3)$. Restando, miembro a miembro, $(3)$ de $(2)$, se obtiene $e^{iz}-e^{-iz}=2i\,\sin\,(z)$, con lo cual $\sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

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Radicación de números complejos

Siendo $z\in \mathbb{C}$, nos proponemos resolver la ecuación $$z^3=1+i$$

Es evidente que $z=\sqrt[3]{1+i}$. Sabemos, que la raíz $n$-ésima de un número complejo, como es $w=1+i$, tiene $n$ soluciones: $\sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1$, donde $\text{arg}(w)$ representa el valor principal (o primer valor) del argumento de $w$, siendo $0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi$, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, $2\,\pi$, tal como $-\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi$.

En este caso, pues, $w=1+1\cdot i$, siendo $|w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. En cuanto a $\text{Arg}(w)$ (argumento de $w$), tenemos que su valor principal es $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right)$, y, en nuestro caso, $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del $w$ en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre $0$ y $\pi/2$ radianes.

Entonces, como $n=3$ (índice del radical), existen tres raíces: $$\left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.$$

-oOo- Comprobación:

• $(z_0)^3\overset{?}{=}1+i$; en efecto, $(z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =$
  $=\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_1)^3\overset{?}{=}1+i$; así es: $(z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i$; también se cumple: $(z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $

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Una progresión geométrica con las potencias sucesivas de la unidad imaginaria $i$

$\displaystyle \sum_{k=3}^{15}\,i^k=i^3\,\sum_{k=0}^{12}\,i^k\overset{\text {Nota (1)}}{=}-i\cdot \left( i^0\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1} \right)\overset{\text{Nota (2)}:\;\; 13\equiv 1\,(\text{mod}\,4) \Rightarrow i^{13}=i^1}{=}-i\cdot \left( 1 \cdot \dfrac{i^1-1}{i-1} \right)=i^3=-i\cdot 1 = -i$

-oOo- Nota (1):   $\displaystyle \sum_{k=0}^{12}\,r^k$ corresponde a la suma de la progresión geométrica de $n=13$ términos, $a_1+a_2+\underset{\overbrace{13}}{\ldots}+a_{13}$, de razón $r=i$; $a_1=i^0=1$ y $a_{12}=i^{12}$, y como $S_{n}=a_1\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}$, se tiene que $S_{13}=1\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1}$
Nota (2):  Hay que tener en cuenta la relación cíclica: $i^0=1$, $i^1=i$; $i^2=-1$; $i^3=-i$; $i^4=1$ ... luego se estable una aritmética modular de módulo $4$.

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