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lunes, 25 de marzo de 2024

Un ejercicio para expresar en forma trigonométrica un número complejo

Me propongo escribir el número complejo (dado en forma algebraica) z=1-sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha, siendo 0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2} en la forma trigonométrica: z=\rho\,(\cos\,\varphi + i\,\sin\,\varphi)

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): \rho=|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(1-\sin\,\alpha)^2+(\cos\,\alpha)^2}=\sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}. Calculo ahora el primer valor del argumento de z: \text{arg}(z)=\varphi, conviniendo que -\pi \lt \varphi \le \pi. Como \mathcal{Im}(z)=1-\sin\,\alpha \gt 0 y \mathcal{Re}(z)=\cos\,\alpha \gt 0, el afijo de z, está en el primer cuadrante del plano de Argand. Sabemos que \varphi:= \text{arctan}\,\left( \dfrac{\mathcal{Im}\,z}{\mathcal{Re}\,z}\right)=\text{arctan}\,\left( \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\right) \Rightarrow \tan\,\varphi=\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}; y, haciendo uso de las identidades trigonométricas y algebraicas: \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\,\alpha}}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}}{1-\sin\,\alpha}= \sqrt{ \dfrac{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}{(1-\sin\,\alpha)^2}}=
=\sqrt{ \dfrac{1-\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}{1-\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}}\overset{\text{(1)}}{=}-\dfrac{1}{\tan\,\left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)} \because \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} es un ángulo del cuarto cuadrante; por lo tanto, \tan\,\varphi \cdot \tan\, \left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)=-1. Por otra parte, sabemos que, denotando A:=\varphi y B:=\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}, \tan\,(A-B)\overset{\text{(2)}}{=}\dfrac{\tan\,A-\tan\,B}{1+\tan\,A \cdot \tan\,B}; y teniendo en cuenta que \tan\,A \cdot \tan\,B=-1, el denominador de la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos se anula: 1+\tan\,A \cdot \tan\,B=0, con lo cual \tan\,(A-B)=\pm\,\infty, pero, para ello, como \tan\,(A-B):=\dfrac{\sin\,(A-B)}{\cos\,(A-B)}, debe cumplirse que \cos\,(A-B)=0, y por tanto, A-B=\dfrac{\pi}{2}, esto es \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2}, de lo cual se desprende que \varphi=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{4}. Por consiguiente, 1-\sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha= \sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}\cdot \left( \cos\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}) \right)

Aclaraciones:

  1. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.43, p.20), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
  2. Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.36, p.19), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993

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domingo, 24 de marzo de 2024

Módulo y primer argumento de un número complejo. Algunos ejercicios

Voy a hallar el módulo, |z| y el valor principal del argumento, \text{arg}\,z o \varphi) (recordemos que -\pi \lt \text{arg}\,z \le \pi) de los siguientes números complejos:
a) z=4+3i; b) z=-2+2\sqrt{3}\,i; c) z=-7-i; d) z=-\cos\,\dfrac{\pi}{5}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{5}; e) z=4-3\,i; f) z=\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha; \pi \lt \alpha \lt \dfrac{3}{2}\,\pi

  • (a) |z|=\sqrt{4^2+3^2}=5; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}. Nota: El afijo de z está en el primer cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=3 \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=4 \gt 0.
  • (b) |z|=\sqrt{(-2)^2+(2\,\sqrt{3})^2}=4; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{2\,\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{2}{3}\,\pi. Nota: El afijo de z está en el seguno cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=2\,\sqrt{3} \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=-2 \lt 0.
  • (c) |z|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=2\,\sqrt{5}; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{1}{7}-\pi. Nota: El afijo de z está en el tercer cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=-1 \lt 0 y \mathcal{Re}\,z=-7 \lt 0.
  • (d) |z|=\sqrt{(-\cos\,\dfrac{\pi}{5})^2+(\sin\,\dfrac{\pi}{5})^2}=1; \varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{\sin\,\frac{\pi}{5}}{-\cos\,\frac{\pi}{5}}\right)=\text{arctan}\,\left(-\tan\,(\frac{\pi}{5})\right)=-\frac{\pi}{5}+\pi=\frac{4}{5}\,\pi. Nota: El afijo de z está en el segundo cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=\sin\,\frac{\pi}{5} \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=-\cos\,\frac{\pi}{5} \lt 0.
  • (e) |z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{-3}{4}=-\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}. Nota: El afijo de z está en el cuarto cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=-3 \lt 0 y \mathcal{Re}\,z=4 \gt 0.
  • (f) |z|=\sqrt{(\cos\,\alpha)^2+(-\sin\,\alpha)^2}=1; \varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{-\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}\right)=\text{arctan}\,(-\tan\,\alpha)=-\alpha, y, en consecuencia: \varphi=2\,\pi-\alpha, que pertenece al cuarto cuadrante, pues \alpha pertenece al tercer cuadrante. En efecto, como \sin\,\alpha \lt 0, se tiene que -\sin\,\alpha \gt 0, y, al ser \cos\,\alpha \lt 0, entonces -\tan\,\alpha \lt 0, luego \varphi pertenece o bien al segundo cuadrante o bien al cuarto cuadrante, que es nuestro caso. \diamond

lunes, 18 de marzo de 2024

Forma trigonométrica de un número complejo

Voy a escribir el número complejo z=1-\sqrt{3}\,i (escrito en forma algebraica) en la forma trigonométrica:

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): |z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2. Calculo ahora el primer valor del argumento de z: \text{arg}(z) (o \varphi), de manera que -\pi \lt \varphi \le \pi. Como \mathcal{Im}(z)=-\sqrt{3}\lt 0 y \mathcal{Re}(z)=1\gt 0, el afijo de z, está en el cuarto cuadrante en el diagrama de Argand, con lo cual \varphi=\text{arctan}\,(-\frac{\sqrt{3}}{1})=-\dfrac{\pi}{3}, en consecuencia z=|z|\cdot \left( cos\,(\varphi)+i\,\sin\,(\varphi) \right)=2\cdot (\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}). Obsérvese que si deshacemos el paréntesis se obtiene otra vez la expresión algebraica de z. \diamond

viernes, 8 de marzo de 2024

Relación entre las funciones tangente y tangente hiperbólica

En dos artículos precedentes [(1) y (2)] hemos visto la relación entre el seno y el seno hiperbólico, y entre el coseno y el coseno hiperbólico; ahora, justificaremos la relación entre la tangente y la tangente hiperbólica: \tan\,(z)=-i\,\tanh\,(iz)\quad \quad \tanh\,(z)=-i\,\tan\,(iz) \tan\,(iz)=i\,\tanh\,(z)\quad \quad \tanh\,(iz)=i\,\tan\,(z)

Recordemos que:
  \sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz)
  \sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)
  \cos\,(z)=\cosh\,(iz)
  \cosh\,(z)=\cos\,(iz)

Entonces, atendiendo a las definiciones de tangente y tangente hiperbólica:
  \tan\,(z):=\dfrac{\sin\,(z)}{\cos\,(z)}=\dfrac{-i\,\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\tanh\,(iz)
Cambiando z por iz, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  \tan\,(iz)=-i\,\tanh\,(i\,(iz))=-i\,\tanh\,(i^2\,z)=-i\,\tanh\,(-z)=-i\cdot (-\tanh\,(-z))=i\,\tanh\,(z)

Por otra parte,
  \tanh\,(z):=\dfrac{\sinh\,(z)}{\cosh\,(z)}=\dfrac{-i\,\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\tan\,(iz)
Otra vez ahora con esta otra igualdad: cambiando z por iz, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  \tanh\,(iz)=-i\,\tan\,(i\,(iz))=-i\,\tan\,(i^2\,z)=-i\,\tan\,(-z)=-i\cdot (-\tan\,(-z))=i\,\tan\,(z)

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Relación entre las funciones coseno y coseno hiperbólico

Siendo z\in \mathbb{C}, recordemos que la función coseno se puede escribir de la forma \cos\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} y la función coseno hiperbólico, que se define de la forma \cosh\,(z):=\dfrac{e^z+e^{-z}}{2} \quad (1), se puede demostrar fácilmente que \cos\,(iz)=\cosh\,(z) y \cos\,(z)=\cosh\,(iz). En efecto:

\cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} y cambiando el argumento z por iz en ambos miembros de la igualdad podemos escribir \cos\,(iz)=\dfrac{e^{i\,(iz)}+e^{-i\,(iz)}}{2}=\dfrac{e^{i^2\,z}+e^{-i^2\,z}}{2}=\dfrac{e^{(-1)\cdot z}+e^{-(-1)\,z}}{2}=\dfrac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}=:\cosh\,(z). De ahí se sigue también que \cos\,(z)=\cosh\,(iz)

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Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2), luego e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3). Sumando, miembro a miembro, (3) y (2), se obtiene e^{iz}+e^{-iz}=2\,\cos\,(z), con lo cual \cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

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Relación entre las funciones seno y seno hiperbólico

Siendo z\in \mathbb{C}, recordemos que la función seno se puede escribir de la forma \sin\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} y la función seno hiperbólico, que se define de la forma \sinh\,(z):=\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}, se puede demostrar fácilmente que \sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz) y que \sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz). En efecto:

\sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \dfrac{i}{i}=i\cdot \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{-2}=-i\cdot \left(\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\right) \quad (1), pero el segundo factor (entre los paréntesis) es justamente la definición del seno hiperbólico, no de z, sino de iz, esto es, \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\sinh\,(iz); por consiguiente, de (1) se se sigue que, como se pedía, \sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)

De ahí se sigue también que, de la igualdad anterior, cambiando z por iz:
  \sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)
    \sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i\cdot (iz)
      \sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i^2\,z)
        \sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(-z)
          \sin\,(iz) = -i\cdot (-\sinh\,(z))
            \sin\,(iz) = i\cdot \sinh\,(z)
              i\,\sin\,(iz) = i\cdot i\, \sinh\,(z)
                i\,\sin\,(iz) = i^2\, \sinh\,(z)
                  i\,\sin\,(iz) = -\sinh\,(z)
                    \sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)
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Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2), luego e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3). Restando, miembro a miembro, (3) de (2), se obtiene e^{iz}-e^{-iz}=2i\,\sin\,(z), con lo cual \sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

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jueves, 7 de marzo de 2024

Radicación de números complejos

Siendo z\in \mathbb{C}, nos proponemos resolver la ecuación z^3=1+i

Es evidente que z=\sqrt[3]{1+i}. Sabemos, que la raíz n-ésima de un número complejo, como es w=1+i, tiene n soluciones: \sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1, donde \text{arg}(w) representa el valor principal (o primer valor) del argumento de w, siendo 0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, 2\,\pi, tal como -\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi.

En este caso, pues, w=1+1\cdot i, siendo |w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. En cuanto a \text{Arg}(w) (argumento de w), tenemos que su valor principal es \text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right), y, en nuestro caso, \text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del w en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre 0 y \pi/2 radianes.

Entonces, como n=3 (índice del radical), existen tres raíces: \left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.

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Comprobación:
  • (z_0)^3\overset{?}{=}1+i; en efecto, (z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =
    =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i
  • (z_1)^3\overset{?}{=}1+i; así es: (z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=
    \sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i
  • (z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i; también se cumple: (z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=
    \sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i
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miércoles, 6 de marzo de 2024

Una progresión geométrica con las potencias sucesivas de la unidad imaginaria i

\displaystyle \sum_{k=3}^{15}\,i^k=i^3\,\sum_{k=0}^{12}\,i^k\overset{\text {Nota (1)}}{=}-i\cdot \left( i^0\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1} \right)\overset{\text{Nota (2)}:\;\; 13\equiv 1\,(\text{mod}\,4) \Rightarrow i^{13}=i^1}{=}-i\cdot \left( 1 \cdot \dfrac{i^1-1}{i-1} \right)=i^3=-i\cdot 1 = -i

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Nota (1):   \displaystyle \sum_{k=0}^{12}\,r^k corresponde a la suma de la progresión geométrica de n=13 términos, a_1+a_2+\underset{\overbrace{13}}{\ldots}+a_{13}, de razón r=i; a_1=i^0=1 y a_{12}=i^{12}, y como S_{n}=a_1\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}, se tiene que S_{13}=1\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1}
Nota (2):  Hay que tener en cuenta la relación cíclica: i^0=1, i^1=i; i^2=-1; i^3=-i; i^4=1 ... luego se estable una aritmética modular de módulo 4.

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