Determinación de la ecuación diferencial a partir de su solución general

En este ejercicio me propongo determinar la ecuación diferencial ordinaria cuya solución general es $y=\sin\,(x+A)$, siendo $A$ la constante indeterminada (o de integración).

Al haber una sola constante de integración es claro que el orden de la ecuación diferencial es $1$. Bien, derivando con respecto a $x$ la solución general, se obtiene $$y'=\cos\,(x+A)$$ y, por tanto, $$(y')^2=\cos^2\,(x+A) \quad (1)$$ Por otra parte, de la solución general, puede escribirse que $$y^2=\sin^2\,(x+A) \quad (2)$$ Sumando miembro a miembro $(1)$ y $(2)$, $$(y')^2+y^2=\cos^2\,(x+A) +\sin^2\,(x+A)$$ y, teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría (en el segundo miembro), $$(y')^2+y^2-1=0$$ $\diamond$

Obtención de la ecuación diferencial asociada a su solución general

En este ejercicio me propongo determinar la ecuación diferencial ordinaria cuya solución general es $\ln\,(y)=A\,x^2+B$, siendo $A$ y $B$ las constantes indeterminadas.

Al haber dos constantes arbitrarias es claro que el orden de la ecuación diferencial es $2$. Bien, derivando con respecto a $x$ la solución general, se obtiene $$\dfrac{1}{y}\,y'=2\,A\,x+0$$ de donde se deduce que $$A=\dfrac{y'}{2\,y\,x}$$Susbstituyendo en la solución general, $$\ln\,(y)=\dfrac{x}{2\,y}\,y'+B$$ y derivando otra vez con respecto a $x$, $$\dfrac{1}{y}\,y'=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{(y'+x\,y\,y'')\,y-x\,(y')^2}{y^2}\right)$$ y simplificando, $$x\,y\,y''-y\,y'-x\,(y')^2=0$$ $\diamond$

Un ejercicio de cálculo de la matriz canónica de un endomorfismo

Me propongo encontrar la forma canónica de Jordan asociada a la matriz $A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\ 1& 1 & -1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ así com el cambio de base correspondiente

Calculo los valores propios:
$P(\lambda)=\begin{vmatrix}3-\lambda&-1&-1\\ 1& 1-\lambda & -1\\1&-1&1-\lambda\end{vmatrix}$
  $P(\lambda)=0$
    $(\lambda-1)(\lambda-2)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\lambda_1=1\,,\,k_1=1\\\lambda_2=2\,,\,k_2=2\end{matrix}\right.$
Subespacions propios:
  $E_1(1)=\text{ker}(A-1\cdot I)$
  $E_2(2)=\text{ker}(A-2\cdot I)$

Dimensión de los espacios propios:
Teniendo en cuenta que $(A-1\cdot I)=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& 0 & -1\\1&-1&0\end{pmatrix}$, vemos que, como $\text{det}(A-1\cdot I)=0$, $\text{rango}(A-1\cdot I)\lt 3$, y, como existen menores de orden $2$ no nulos, como por ejemplo, $\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, se tiene que $\text{rango}(A-1\cdot I)=2$, con lo cual $$\text{dim}(E_1(1))=\text{dim}(V)-\text{rango}(A-1\cdot I)=3-2=1$$
Por otra parte, $(A-2\cdot I)=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& -1 & -1\\1&-1&-1\end{pmatrix}$. Como las filas/columnas segunda y tercera son las mismas que la primera es claro que $\text{rango}(A-1\cdot I)= 1$, luego $$\text{dim}(E_2(2))=\text{dim}(V)-\text{rango}(A-2\cdot I)=3-1=2$$ Démonos cuenta de que al coincidir la multiplicidad de cada valor propio con la dimensión del correspondiente subespacio propio, $k_1=1$ y $\text{dim}(E_1(1))=1$; $k_2=2$ y $\text{dim}(E_2(2))=2$, la matrix de la forma canónica de Jordan ha de ser una matriz diagonal: $$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$$

Calculo, ahora, una base para cada subespacio propio. Para $E_1(1)$, deberá cumplirse que $$\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& 0 & -1\\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ Al ser la dimensión de $E_1(1)=1$, el número de parámetros libres del sistema de ecuaciones lineales asociados, con dos ecuaciones linealmente independientes, es $1$. La última fila de la matriz es combinación lineal de las dos primeras, luego podemos escribir el sistema de ecuacines lineales de la forma
$\left\{\begin{matrix}2\,x_1-x_2=x_3\\x_1=x_3\end{matrix}\right.\Rightarrow E_1(1)=\{a\,(1,1,1), a\in \mathbb{K}\}$ luego, para (por ejemplo) $a=1$, el vector $(1,1,1)=:\vec{u}_1$ constituye una base de $E_1(1)$, que notamos de la forma $E_1(1)=\langle(1,1,1)\rangle$. El vector $\vec{u}_1$ es pues el primer vector de la nueva base con respecto a la cual escribiremos la matriz de la forma canónica de Jordan -en el caso que nos ocupa es una matriz diagonal-, siendo sus coordenadas las de la primera columna de la matriz del cambio de base (de la b. canónica a la nueva base).

Para $E_2(2)$, deberá cumplirse que $$\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ 1& -1 & -1\\1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ El número de ecuaciones linealmente independientes es por tanto $1$, y al ser la dimensión de $E_2(2)=2$, el número de parámetros libres del sistema de ecuaciones lineales asociados, con dos ecuaciones linealmente independientes, es $2$. El sistema de ecuaciones lineales asociado puede escribirse por tanto con una única ecuación:
$\left\{\begin{matrix}x_2+x_3=x_1\end{matrix}\right.\Rightarrow E_2(2)=\{a\,(1,0,1)+b\,(1,1,0);\, a\,b\in \mathbb{K}\}$ luego, para (por ejemplo) $a=1$ y $b=1$, los vectores $(1,0,1)=:\vec{u}_2$ y $(1,1,0)=:\vec{u}_3$ constituyen una base de $E_2(2)$, que notamos de la forma $E_2(2)=\langle(1,0,1),((1,1,0)\rangle$. Los vectores vector $\vec{u}_2$ y $\vec{u}_3$ son, respectivamente, el segundo y el tercer vector de la nueva base del espacio vectorial $V$ con respecto a la cual escribiremos la matriz de la forma canónica de Jordan, siendo sus coordenadas las de la segunda y tercera columnas de la matriz, $P$, del cambio de base (de la b. canónica a la nueva base): $$P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$$

Observación:
La matriz dada, $\begin{pmatrix}3&-1&-1\\ 1& 1 & -1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ es la matriz del endomorfismo con respecto a la base canónica , $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ y la matriz de Jordan (en nuestro caso, diagonal) que hemos encontrado $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ es la matriz del endomorfismo con respecto a la nueva base $\{(1,1,1),(1,0,0),(1,1,0)\}$. Puede comprobarse que, efectivamente, se cumple $$D=P^{-1}\,A\,P$$ $\diamond$

Cálculo de una integral de línea

Consideremos la siguiente curva, $\mathcal{C}$, en $\mathbb{R}^3$ que viene dada en forma paramétrica $$\left.\begin{matrix}x&=&2\,t\\y&=& t^2+1\\z&=&t^3\end{matrix}\right\}\,\forall\,t\in\mathbb{R}$$y sea el vector $\vec{v}=2xy^{2}z\,\hat{i}+(x-2y-z)\hat{j}+5x^{2}z\,\hat{k}$, donde $\hat{i}, \hat{j}$ y $\hat{k}$ son los vectores de la base canónica estándar (versores). Nos proponemos calcular la integral de línea $\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle$ entre los puntos $P_i\,(0,1,0)$ y $P_f\,(2,2,1)$

Siendo $\vec{r}:=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}+z\,\hat{k}=2t\,\hat{i}+(t^2+1)\,\hat{j}+t^3\,\hat{k}$ el vector de posición de un punto genérico de la curva $\mathcal{C}$, se tiene que, diferenciando con respecto de $t$, $d\vec{r}=2\,\hat{i}+(2t+1)\,\hat{j}+3t^2\,\hat{k}$

Por otra parte,
$\vec{v}=2\,(2t)\,(t^2+1)^2\,\hat{i}+(2t-2(t^2+1)-t^3)\,\hat{j}+5\,(2t)^{2}\,t^3\,\hat{k}$
  $=4t^4(t^2+1)^2\,\hat{i}+(-t^3-2t^2+2t-2)\,\hat{j}+20t^5\,\hat{k}$

Así pues,
$\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle=$   $\displaystyle \int_{t_i}^{t_f}\,\langle (4t^4(t^2+1)^2\,,\,(-t^3-2t^2+2t-2)\,,\,20t^5)\,,\,(2\,,\,(2t+1)\,,\,3t^2) \rangle\,dt$
    $\displaystyle \int_{t_i}^{t_f}\,(8t^8+60t^7+16t^6+6t^4-4t^3+4t^2-4t)\,dt \quad (1)$

Calculemos los valores de $t_i$ y $t_f$: Para $P_i\,(0,1,0)$ se tiene que $\left.\begin{matrix}0&=&2\,t\\1&=& t^2+1\\0&=&t^3\end{matrix}\right\} \Leftrightarrow t_i=0$ y para Para $P_f\,(2,2,1)$ se tiene que $\left.\begin{matrix}2&=&2\,t\\2&=& t^2+1\\1&=&t^3\end{matrix}\right\} \Leftrightarrow t_f=1$

En consecuencia, de $(1)$, $\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle=\displaystyle \int_{0}^{1}\,(8t^8+60t^7+16t^6+6t^4-4t^3+4t^2-4t)\,dt=\dfrac{6\,431}{630}\quad \diamond$

Conjuntos en los que definimos una relación de orden

Consideremos un conjunto $B$ contenido en otro conjunto $A$ en el que hay definida una relación de orden $\prec$. Pues bien, es sabido que ésta induce una relación de orden en $B$, de tal manera que:

Si $m\in A$ precede a todos los elementos de $B$, decimos que $m$ es un elemento minorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $m$, también preceden a todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los minorantes de $B$. Al último elemento de los minorantes de $B$ (la mayor de las cotas inferiores de $B$) se le denomina ínfimo de $B$, y en el caso de que dicho ínfimo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento mínimo de $B$.

Si $M\in A$ es precedido por todos los elementos de $B$, decimos que $M$ es un elemento mayorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $M$, también son precedidos por todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los mayorantes de $B$. Al primer elemento de los mayorantes de $B$ (la menor de las cotas superiores) se le denomina supremo de $B$, y en el caso de que dicho supremo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento máximo de $B$.

La relación binaria $x|y$ en $\mathbb{N}$ es una relación de orden

Se considera la siguiente relación binaria: $$x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x | y\,\forall\,x,y\in \mathbb{N}$$¿Es una relación de orden? (el símbolo $x|y$ denota que $x$ divide a $y$)

Para que sea una relación de orden la relacion binaria propouesta debe cumplir las siguientes tres condiciones: i) reflexiva ii) antisimétrica y iii) transitiva. Veamos que se cumplen las tres (para cada una, solamente probaré a condición necesaria, pues la suficiente es evidente):

i) Es reflexiva: Para todo $x\in \mathbb{N}$ se tiene que $x=1\cdot x=x$, luego $x|x$ y por tanto $x\mathcal{R}x$. $\diamond$

ii) Es antisimétrica: Si $x\mathcal{R}y$, entonces $x|y \Rightarrow$ eixiste un número $m\in \mathbb{N}$ tal que $y=m\,x$; y si $y\mathcal{R}x$ entonces $y|x \Rightarrow$ existe un número $n\in \mathbb{N}$ tal que $x=m\,y$ luego $y=m\cdot n\,y$ y por tanto $m\cdot n=1 \Rightarrow m=1$ y $n=1$, y en consecuencia $y=x$. $\diamond$

iii) Es transitiva: Si $x\mathcal{R}y$, entonces $x|y \Rightarrow$ eixiste un número $p\in \mathbb{N}$ tal que $y=p\,x$; y si $y\mathcal{R}z$ entonces $z|y \Rightarrow$ existe un número $q\in \mathbb{N}$ tal que $z=q\cdot y$ luego $z=q\cdot p\,x$ y por tanto, como $q\cdot p=:k\in \mathbb{N}$, $z=k\,x \Rightarrow x|z$ con lo cual $x\mathcal{R}z$. $\diamond$

Un ejercicio en el que se busca la matriz de una aplicación lineal

En este ejercicio me propongo encontrar la matriz, con respecto a las bases canónicas del espacio vectorial de partida y el de llegada, que corresponde a la aplicación lineal $f:V_4(\mathbb{R}) \rightarrow V_3(\mathbb{R})$, tal que: $$i) \quad f((1,1,0,0)^\top=(1,0,0)^\top$$ $$ii) \quad f((0,1,1,0)^\top=(0,1,0)^\top$$ $$iii) \quad f((0,0,1,1)^\top=(0,0,1)^\top$$ $$iv) \quad f((0,0,0,1)^\top=(0,0,1)^\top$$

Como la dimensión del espacio vectorial de llegada es $3$ y el de partida es $4$, la matriz de la aplicación lineal es $A_{3 \times 4}$, esto es $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$

Por la condición $(i)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{11}+a_{12}=1 \\ a_{21}+a_{22}=0 \\ a_{31}+a_{32}=0 \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Por la condición $(ii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{12}+a_{13}=0 \\ a_{22}+a_{23}=1 \\ a_{32}+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \quad (2)$$

Por la condición $(iii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{13}+a_{14}=0 \\ a_{23}+a_{24}=0 \\ a_{33}+a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (3)$$

Y, por la condición $(iv)$, $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{14}=0 \\ a_{24}=0 \\ a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (4)$$

Sustituyendo $(4)$ en $(3)$ obtenemos $a_{13}=a_{23}=a_{33}=0$

Sustituyendo todos estos resultados en $(2)$ obtenemos $a_{12}=0$ y $a_{22}=1$

Y, finalmente, sustituyendo lo encontrado hasta ahora en $(1)$ obtenemos $a_{11}=1$, $a_{21}=-1$ y $a_{31}=0$

Así pues concluimos que $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$\diamond$