a) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan todas un '3' ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente cinco fichas con un mismo número ?
c) Calcular la probabilidad de tener exactamente cuatro fichas de alguno de los números
d) Calcular la probabilidad de no tener ninguna ficha ( ver apartado anterior ) con alguno de los números
SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas; utilizaremos, pues, la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio para calcular el número de casos favorables y el número de casos posibles.
a) Denotemos por $A_3$ al suceso pedido, entonces $$P(A_3)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A_3)}{N}$$ El número de casos en total, esto es el número de maneras de elegir un conjunto
de $7$ fichas a la vez de un total de $28$, $N$, es igual a $\binom{28}{7}=1\,184\,040$
Vamos a calcular ahora el número de casos favorables $N(A_3)$. Como hay $\binom{7}{5}$ maneras de elegir $5$ fichas que tengan un '3'; y, por tanto, $\binom{28-7}{7-5}$ maneras de elegir las dos fichas restantes, tenemos que por el principio multiplicativo $$N(A_3)=\dfrac{\binom{7}{5}\cdot \binom{28-7}{7-5}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{4\,410}{1\,184\,040}=\dfrac{49}{13\,156}\approx 0,0037$$
b)
Ahora nos interesamos no sólo por que salga un '3', sino también por que salga también cualquiera de los otros seis números. Podemos repetir lo que acabamos de hacer para calcular la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan cualquiera de los otros seis números, por lo que resulta evidente que $P(A_0)=P(A_1)=\ldots=P(A_6)=\dfrac{49}{13\,156}$, luego la probabilidad pedida en este segundo apartado es $P(A_0 \cup \ldots \cup A_6)$, y siendo dichos sucesos incompatibles (1), resulta ser igual a $P(A_0)+\ldots+P(A_6)=7\cdot P(A_3)$ esto es $$7\cdot \dfrac{49}{13\,156}=\dfrac{343}{13\,156}\approx 0,0261$$
ACLARACIÓN 1:
Para pensar con claridad, tengamos en cuenta que las $28$ fichas son las siguientes
06 05 16 04 15 26 03 14 25 36 02 13 24 35 46 01 12 23 34 45 56 00 11 22 33 44 55 66Así que no es posible que los sucesos $A_i$ y $A_j$ ( donde $i$ y $j$ toman valores en $\{0,1,2,\ldots,6\}$ ) sean compatibles, ya que, por ejemplo, si $(i,j)=(3,4)$, fijado $i=3$ hay otras $6$ fichas que contienen el '3': $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)$ ; y, fijado $j=4$, hay otras $6$ fichas que contienen el '4': $(0,4),(1,4),(1,4),(4,4),(5,4),(6,4)$. Si pensamos en la posibilidad de tener cinco fichas con el '3' y con el '4', vemos que es imposible, habida cuenta que sólo disponemos de $7$ fichas, y sólo una, la $(3,4)$ contiene el '3' y el '4'. Lo mismo ocurre con los otros pares de números. Así que $A_i \cap A_j = \emptyset$, luego $P(A_i \cap A_j)=0$ para todo $i$ y todo $j$ ( con $i \neq j$ ) en $\{0,1,2,\ldots,6\}$, esto es, los sucesos $A_i$ y $A_j$ con $i \neq j$ son incompatibles.
c)
Denotemos por $B_i$ al suceso "tener exactamente cuatro fichas con el número $i$ ( siendo $i \in \{0,\ldots,6\}$ ). De manera análoga al caso anterior, $$P(B_i)=\dfrac{\binom{7}{4}\cdot \binom{28-7}{7-4}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{4\,655}{118\,404}$$
Y nos falta calcular $P(B_0 \cup \ldots \cup B_6 )$. Ahora bien, en este caso los sucesos $B_0,\ldots,B_6$ no son incompatibles, esto es $B_i \cap B_j \neq \emptyset$ para $i \neq j$, por consiguiente, según la fórmula de inclusión-exclusión, podemos escribir $$\displaystyle P(\displaystyle \cup_{i=0}^{6})\,B_i=\sum_{i=0}^{6}P(B_i)-\sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(B_i \cap B_j) + \sum_{i\neq j \neq k=0}^{6}\,B_i \cap B_j \cap B_k \quad \quad (1)$$
Como hacíamos en el apartado anterior, el valor del primer término de (1), $\displaystyle \sum_{i=0}^{6}P(B_i)$, es $$7\cdot \dfrac{4\,655}{118\,404}$$
Procedemos a calcular el sumatorio del segundo término. Si, p. ej., $(i,j)=(3,4)$, fijado $i=3$ hay otras $6$ fichas que contienen el '3': $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)$ ; y, fijado $j=4$, hay otras $6$ fichas que contienen el '4': $(0,4),(1,4),(1,4),(4,4),(5,4),(6,4)$. Si ahora pensamos en la posibilidad de tener cuatro fichas con el '3' y con el '4', sí podemos encontrarlas: una es la $(3,4)$ y, además de $(3,4)$, podemos seleccionar tres de entre las seis que son del tipo $(3,.)=\{(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)\}$, es decir, $\binom{7-1}{3}$; y otras tres de entre las seis que son del tipo $(.,4)=\{(0,4),(1,4),(2,4),(4,4),(5,4),(6,4)\}$, y por tanto, podemos hacerlo también de $\binom{7-1}{3}$ maneras. Con lo cual, por el principio multiplicativo, tenemos $\binom{7-1}{3} \cdot \binom{7-1}{3}$ casos favorables de un total de $\binom{28}{7}$. Por consiguiente, $$P(B_i \cap B_j)=\dfrac{\binom{7-1}{3} \cdot \binom{7-1}{3}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{10}{29\,601} $$
Como podemos formar $C_{7,2}=\binom{7}{2}=21$ parejas de sucesos $[B_i$ , $B_j]$ con $i\neq j$, éste es el número de sumandos de $\displaystyle \sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(B_i \cap B_j)$, y, al tener todos el mismo valor ( que es el que acabamos de calcular ) resulta $$\displaystyle \sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(B_i \cap B_j)=21\cdot \dfrac{10}{29\,601}=\dfrac{70}{9867}$$
Por otra parte, es evidente que el valor del tercer término $\displaystyle \sum_{i\neq j \neq k=0}^{6}\,B_i \cap B_j \cap B_k$ es igual a $0$
Por consiguiente el valor de (1) es $$7\cdot \dfrac{4\,655}{118\,404} - \dfrac{70}{9867}$$ esto es $$\dfrac{31\,745}{118\,404}\approx 0,2681$$
d) PROVISIONAL ( NO SE ENTIENDE )
Denotemos por $C_i$ al suceso "no tener ninguna ficha con el número $i$" ( siendo $i \in \{0,\ldots,6\}$ ). De manera análoga a lo realizado en los casos anteriores, tenemos ahora que como el número de valores es $7$ ( $\text{Card}(\{0,\ldots,6\})$, podemos escribir $$P(C_i)=\dfrac{\binom{28-7}{7-4}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{323}{3\,289}$$
Debemos calcular, otra vez, $P(C_0 \cup \ldots \cup C_6 )$. Por la fórmula de inclusión-exclusión,
$$\displaystyle P(\displaystyle \cup_{i=0}^{6}\,C_i)=\sum_{i=0}^{6}\,P(C_i)-\sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(C_i \cap C_j)+\sum_{i\neq j \neq k=0}^{6} P(C_i \cap C_j \cap C_k ) \quad \quad (1)$$
Procedamos a calcular el valor de estos términos. El primero, es igual a $$\displaystyle \sum_{i=0}{7}\,P(C_i)=7\cdot P(C_i)=\dfrac{2261}{3289}$$ Para calcular el segundo, debemos recordar lo dicho en la ACLARACIÓN 1 del apartado (b): para cada $i$ y $j$ fijados, hay $6+6+1=13$ fichas con estos valores, luego el número de casos favorables a no encontrar ni 'i' ni 'j' es $\binom{28-13}{7}$ y como el número de casos posibles es $\binom{28}{7}$ vemos que $$P(C_i \cap C_j)=\dfrac{\binom{28-13}{7}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{1}{184}$$ Por otro lado, el número de pares/sumandos de ese término ( con igual valor ) es igual a $C_{7,2}=\binom{7}{2}=21$, como ya habíamos visto en el apartado anterior. Así, $$\sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(C_i \cap C_j)=21\cdot \dfrac{1}{184}=\dfrac{21}{184}$$
Para calcular el valor del tercer sumatorio, tengamos en cuenta que si $i\neq j \neq k$ hay $6$ pares con el valor $i$ fijado ( descontando '(i,i)'; $6$ más con el valor $j$ fijado (descontando '(j,j)'), y $6$ más con el $k$ fijado ( descontando '(k,k)'; por consiguiente encontramos $6\cdot 3=18$ pares, luego habra $28-18=10$ fichas que cumplen en las que no esté ni 'i' ni 'j' ni 'k'. Por tanto, hay $\binom{28-10}{7}$ casos favorables a $C_i \cap C_j \cap C_k$. Además, como todos los sumandos de dicho sumatorio son iguales, y podemos encontrar $C_{7,3}=35$ ternas/sumandos, por el principio de Laplace, vemos que $$\sum_{i\neq j=0}^{6}\,P(C_i \cap C_j)+\sum_{i\neq j \neq k=0}^{6} P(C_i \cap C_j \cap C_k )=35\cdot \dfrac{\binom{28-18}{7}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{35}{9867}$$
Finalmente, sustituyendo estos resultados en (1), encontramos $$\displaystyle P(\displaystyle \cup_{i=0}^{6}\,C_i)=\dfrac{2261}{3\,289}-\dfrac{21}{184}+\dfrac{35}{9867}=\dfrac{45\,535}{78\,936}\approx 0,5769$$
$\square$
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