ENUNCIADO. Sea $E$ un conjunto de $n$ elementos ( $\text{card}(E)=n$ ). Se consideran los $2^n$ subconjuntos de $E$, de manera que -- siendo el número de dichos subconjuntos igual a $2^n$ -- al elegir uno cualquiera de ellos al azar, éste tenga la misma probabilidad que todos los demás: $\dfrac{1}{2^n}$. Sean dos de esos subconjuntos, $A$ y $B$; y supongamos que son disjuntos ( $A \cap B = \emptyset$ ). Así, puesto que la probabilidad de elegir $A$ es $P(A)=\dfrac{1}{2^n}$ y la probabilidad de elegir $B$, $P(B)=\dfrac{1}{2^n}$, entonces -- de la fórmula de inclusión-exclusión $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ -- se tiene que $P(A \cup B)=\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{2^n}+0=\dfrac{2}{2^n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$. Por otra parte, hay que tener en cuenta que $A \cup B$ es un subconjunto de $E$, luego $P(A \cup B)=\dfrac{1}{2^n}$. Entonces: Al haber llegado a una contradicción debemos concluir que no se pueden sortear los subconjuntos de $E$ de modo que todos tengan la misma probabilidad ¿Es correcta esta conclusión?
SOLUCIÓN. La conclusión es falsa (sí se puede concebir que todos los subconjuntos tengan la misma probabilidad). Veamos por qué no se da la supuesta contradicción. Tengamos en cuenta que el espacio muestral $\Omega$ está, aquí, formado por todos los subconjuntos de $E$ ( cada uno de ellos es un suceso simple ). Según el enunciado, se ha construido, además, dicho espacio muestral de manera que sus elementos sean equiprobables. Por consiguiente, y en rigor, debemos escribir $P(\{A\})=P(\{B\})=\dfrac{1}{2^n}$, y como $\{A \cup B\}$ es también un suceso simple, se debe cumplir que $P(\{A \cup B\})=\dfrac{1}{2^n}$. Ahora bien, hay que tener en cuenta que $\{A\} \cup \{B\} \neq \{A \cup B\}$ ( atención al significado de las llaves ) y, como se comenta en el enunciado, efectivamente sucede que $P(\{A\} \cup \{B\} = \dfrac{1}{2^{n-1}} \neq \dfrac{1}{2^n}$, lo cual no es contradicción alguna. $\square$
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