La desigualdad triangular en el espacio vectorial normado $(\mathbb{R},|.|)$

La recta de los números reales, $\mathbb{R}$, con la norma $\left\|x\right\|:=|x|\; \forall x\in \mathbb{R}$ constituye un espacio vectorial normado. Una de las propiedades que debe cumplir un espacio vectorial normado es la propiedad de la desigualdad triangular, la cual vamos a probar, a continuación, para $(\mathbb{R}, |.|)$.

Se consideran dos números reales, $a$ y $b$, cualesquiera. Vamos a demostrar que $|a+b| \le |a|+|b|$, donde $|.|$ designa el valor absoluto:

Sabemos, por las propiedades del valor absoluto que $|-a|\le a \le |a|$ y que $|-b|\le b \le |b|$, luego $-(|a|+|b|) \le a+b \le |a|+|b|$

Por otra parte, para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$, se tiene que $|x|\le y$ si y sólo si $-y \le x \le y$

En consecuencia, si hacemos $x=: a+b$ e $y=: |a|+|b$, se llega a $|a+b| \le |a|+|b|$. $\diamond$