La desigualdad triangular en $\mathbb{R}$ como espacio métrico ($\mathbb{R},d)$

Sabemos que, dado un espacio vectorial $E$ y una norma definida en él, $\left\|x\right\|:=|x|$ (para todo $x\in E$, podemos decir que $(E,\left\|x\right\|)$ constituye un espacio normado. Por otra parte, la norma induce una distancia en dicho espacio, $d(x,y) \,\forall x,y \in E$, por lo que entonces podemos hablar de $(E,d)$ como un espacio métrico.

En particular, ya hemos demostado (en el artículo precedente) que la recta de los números reales, $\mathbb{R}$, con la norma $\left\|x\right\|:=|x|\; \forall x\in \mathbb{R}$, cumple la propiedad de desigualdad triangular $|x+y|\le |x|+|y| \; \forall \; x,y \in \mathbb{R}$.

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Nota: Por ello decimos que $\mathbb{R},|.|)$, es un espacio vectorial normado), al cumplir, además, la propiedad de no negatividad para todo $x\in \mathbb{R}$: $|x|\le 0$, y la propiedad de homogeneidad $x\in \mathbb{R}$, $|kx|=|k|\,|x|$, siendo $k$ un número real cualquiera.

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A partir de dicha norma, podemos definir una distancia (en este caso, siendo $E$ el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$), $d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, de la siguiente manera $d(x,y):=|x-y|$. Recordemos que una distancia debe cumplir las siguientes propiedades, para cualesquiera $x,y$, en este caso en el espacio $\mathbb{R}$:

1. $d(x,y)\ge 0$
2. $d(x,y)=d(y,x)$
3. $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$
4. $d(x,z) \le d(x,y)+d(y+z)$

Vamos a demostrar que la distancia en $\mathbb{R}$ así definida, cumple la desigualdad triangular (cuarta propiedad). En efecto,

$d(x,z):=|x-z|=|x-z+y-y|=|(x-y)+(y-z)|\le |x-y| + |y-z| = d(x,y)+d(y,z) \,$
$\because |x-y| \in \mathbb{R} \; \text{y}\; |x+y| \in \mathbb{R}$. $\diamond$