Cálculo de probabilidades y elección de subconjuntos de una cierta cardinalidad

ENUNCIADO. Se elige al azar un subconjunto de un conjunto $E$, siendo $\text{card}(E)=n$. Todos los subconjuntos de $E$ tienen la misma probabilidad de ser escogidos, así que éstos son los sucesos simples del espacio muestral $\Omega$ que entendemos como $\mathcal{P}(E)$. Hallar la probabilidad de que el subconjunto elegido contenga un determinado elemento de $E$. Calcular la probabilidad de obtener un subconjunto cuyo cardinal sea igual a $k \le n$

SOLUCIÓN. El número de subconjuntos ( sucesos simples ) a elegir es $\text{card}(\mathcal{P}(E)=2^n$. Veamos ahora de cuántas maneras es posible elegir un subconjunto que contenga un cierto elemento de $E$. Para ello es interesante que, primero, reduzcamos el tamaño del problema. Si $E$ contiene dos elementos, los subconjuntos de $E$ tales que contengan el elemento $a$ de $E$ son $\{a\}$ y $\{a,b\}$, habiendo pues $2$ subconjuntos. Aumentemos el número de elementos de $E$ a tres, $E=\{a,b,c\}$; los subconjuntos de $E$ que contienen el elemento $a$ de $E$ son $\{a\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$ y $\{a,b,c\}$, así pues vemos que hay $4=2^2$ subconjuntos. Si hacemos lo mismo en el caso que $E$ tenga un elemento más, $E=\{a,b,c,d\}$, encontramos $8=2^3$ subconjuntos: $\{a\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{a,d\}$, $\{a,b,c\}$, $\{a,c,d\}$, $\{a,b,d\}$ y $\{a,b,c,d\}$. Esto nos permite inducir que si $\text{card}(E)=5$, entonces el número de subconjuntos que contienen el elemento $a$ es $2^4=2^{5-1}$, etcétera. Por tanto concluimos que si $\text{card}(E)=n$, el número de subconjuntos que contienen un elemento determinado es $2^{n-1}$.

Otra forma de llegar a este resultado consiste en sumar las combinaciones para todos casos en los que aparece un cierto elemento, esto es, al tomar subconjuntos de $1,2,\ldots,n$ elementos de $E$; como siempre queda fijo de antemano dicho elemento tenemos $$1+\binom{n-1}{2-1}+\binom{n-1}{3-1}+\ldots+\binom{n-1}{(n-1)-1}+\binom{n-1}{n-1}=(1+1)^{n-1}=2^{n-1}$$

Denotando por $A$ el suceso "elegir un subconjunto de $E$ que contenga un cierto elemento de $E$" y aplicando la regla de Laplace podemos escribir $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{2^{n-1}}{2^n}=\dfrac{1}{2}$$

Finalmente, pasemos a dar respuesta a la segunda pregunta. Como el número de subconjuntos de $k$ elementos que se pueden formar es igual a $\binom{n}{k}$ y hay un total de $2^n$ subconjuntos, otra vez, por la regla de Laplace, obtenemos que la probabilidad del suceso $B$ "elegir un subconjunto cuyo cardinal sea igual a $k \le n$" es $$P(B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(B)}{N}=\dfrac{\binom{n}{k}}{2^n}$$
$\square$