Submatrices. Submatrices principales y menores principales

Consideremos una matriz $m \times n$ ( $m$ filas y $n$ columnas ). Sin pérdida de generalidad, pongamos que $m:=3$ y $n:=4$ $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}$$ a la cual le corresponde los siguientes conjuntos de índices de filas y columnas, respectivamente: $I=\{1,2,3,4\}$ y $J=\{1,2,3,4\}$. Pues bien, podemos referirnos a una cierta submatriz $B$ de $A$ seleccionando su subconjunto de índices de fila $I_B$ y un subconjunto de índices de columna $J_B$; pongamos que $I_B=\{2,3\}$ y $J_B=\{3,4,\}$, entendiendo dicha submatriz como una matriz de tamaño $(3-2) \times (4-2)$, que, concretamente es $$B\overset{.}{=}A[I_B;J_B]=A[\{2,3\};\{3,4\}]=\begin{pmatrix}a_{23} & a_{24} \\ a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$ Diremos que una submatriz $B$ de una matriz $A$ es principal si eliminamos las filas y columnas de igual índice, esto es $I_B=J_B$, y lo abreviaremos con la notación $A[I_B]$. Así, por ejemplo, si eliminamos la primera fila y la primera columna, obtenemos la matriz principal $A[\{1\}]=\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$

Llamamos menor complementario de una matriz $A_{m \times n}$ al determinante de alguna de de sus submatrices cuadradas ( que obtenemos al eliminar una o más de de una de sus filas o columnas ).

-oOo- Matrices cuadradas de orden $m$

Si en una matriz cuadrada de orden $m$ seleccionamos las filas y columnas $I=J=\{1,\ldots,k\}$ ( con $k\le m$ ), obtenemos una matriz principal superior; y si seleccionamos las filas y columnas con $I=J=\{k,\ldots,m\}$ obtenemos una matriz principal inferior.
Así, para una matriz $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$, hay tres submatrices principales superiores: $B[\{1\}]=(b_{11})$, $B[\{1,2\}]=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$.

Y también tres matrices principales inferiores: $B[\{3\}]=(b_{33})$, $B[\{2,3\}]=\begin{pmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$

Si se elimina una sola fila y una sola columna, los menores complementarios que así se obtienen se denominan primeros menores de dicha matriz cuadrada, y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas. Además, en el caso de que la submatriz cuadrada formada sea una submatriz principal, los correspondientes primeros menores se denominan menores principales.

Nota. Los determinantes de las matrices principales superiores/inferiores se denominan menores principales superiores/inferiores.

Notación. Al eleminar la fila $i$ y la columna $j$ de una matriz cuadrada $A_{m \times m}$ obtenemos el menor complementario que suele notarse de la forma $M_{ij}$; o, como también suele decirse, el $(i,j)$-ésimo menor complementario de $A$ ) y que, lógicamente, es de orden $m-1$. Dicho menor puede entenderse como el que resulta de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$. Recordemos que en el caso de obtener un cierto menor eliminando una única fila y una única columna, hablamos de primeros menores, por lo que si se obtienen eliminando dos filas y dos columnas, los llamaremos segundos menores, etcétera.