Extracción de bolas numeradas de un bombo

ENUNCIADO. En un bombo hay $60$ bolas, numeradas de $1$ a $60$. Se elige al azar una de esas bolas. Se pide la probabilidad de que la bola seleccionada sea:
a) Un múltiplo de $3$
b) Un múltiplo de $4$
c) Un múltiplo de $3$ o un múltiplo de $4$
d) Un múltiplo de $4$, pero no de $6$

SOLUCIÓN. El espacio muestral $\Omega$ está formado por los sucesos simples $\{1,2,\ldots,60\}$; todos ellos, igualmente probables, así que podemos emplear la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas. Designemos por $\dot{n}$ al suceso compuesto que corresponde a que la bola elegida sea múltiplo de $n$. Entonces,

a) El primer múltiplo de $3$ es el propio $3$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-3}{3}+1=20$ múltiplos de $3$, luego $P(\dot{3})=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}$

b) a) El primer múltiplo de $4$ es el propio $4$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-4}{4}+1=15$ múltiplos de $4$, luego $P(\dot{4})=\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}$

c) Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=P(\dot{3})+P(\dot{4})-P(\dot{3} \cap \dot{4}) \quad \quad (1)$$ Procedemos pues a calcular el valor del tercer término de la expresión. Los números que son múltiplos de $3$ y, también, de $4$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(3,4)=12$; el primer múltiplode $12$ es el propio $12$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-12}{12}+1=5$ múltiplos de $12$, luego $P(\dot{12})=\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$ y, por tanto, $$P(\dot{3} \cap \dot{4})=\dfrac{1}{12}$$ Poniendo ahora los datos en (1) resulta, $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}$$

d)
Se nos pide ahora que calculemos $P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})$. Recordemos la propiedad que dice que, dados dos sucesos, $A$ y $B$, se tiene que $$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$ Así que $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=P(\dot{4})-P(\dot{4} \cap \dot{6}) \quad \quad (2)$$ Debemos por tanto calcular el valor del segundo término de la expresión.

Como los números que son múltiplos de $4$ y, también, de $6$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(4,6)=12$, se tiene que $P(\dot{4} \cap \dot{6})=P(\dot{12})$, probabilidad que, al igual que $P(\dot{4})$, ya hemos calculado antes: $P(\dot{4})=\dfrac{1}{4}$ y $P(\dot{12})=\dfrac{1}{12}$.

Poniendo los datos en (2) resulta, $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}$$
$\square$