Elecciones alternas al azar

ENUNCIADO. En una urna hay $5$ bolas negras y $4$ bolas blancas. Si se extraen todas las bolas, una a una y sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga una alternancia de bolas de distinto color empezando con una bola negra ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ el suceso pedido. Entonces, en una situación como ésta, basta permutar las bolas negras que ocupa lugar impar y permutar las blancas ( que ocupan lugar par ) y, por el principio multiplicativo: $$N(A)=P_5\cdot P_4=5!\cdot 4!$$ Por otra parte, el número de casos posibles es igual a $$(5+4)!$$ Como todos los sucesos del espacio muestral son del tipo $x_1\,x_2\,\ldots\,x_9$ ( donde $x_i$ toma los valores 'negro' o 'blanco' para cualquier valor de $i=1,\ldots,9$ ) y son igualmente probables, podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida $$P(A)=\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{5!\cdot 4!}{(5+4)!}= \dfrac{1}{126}\approx 0,0079$$
$\square$