Valor esperado

ENUNCIADO. Una cierta lotería consiste en sortear un único premio de $5000$ euros. Para ello se elige al azar un número comprendido entre $1$ y $1000$. Para participar, hay que pagar $5$ euros por cada número al que se desea apostar. Si se compra un número, ¿ cuál es el beneficio esperado ?. Si comprásemos $3$ números, ¿ cuál sería entonces el beneficio esperado ?

SOLUCIÓN. La probabilidad de que salga el número que hemos comprado es $\dfrac{1}{1000}$ y, por tanto, la probabilidad de que no salga es $\dfrac{999}{1000}$. Así pues el beneficio esperado es igual a $$(5000-5)\cdot \dfrac{1}{1000}+(-5)\cdot \dfrac{999}{1000}=-4 \; \text{euros}$$ Como el beneficio esperado es negativo, desde luego, comprar un sólo número no es favorable al jugador.

Veamos qué sucede si compramos más de un número, pongamos que tres. En ese caso, la probabilidad de conseguir el premio sería $\dfrac{3}{1000}$ y la de no conseguirlo $1-\dfrac{3}{1000}$, luego
$$(5000-5\cdot 3)\cdot \dfrac{3}{1000}+(-5\cdot 3)\cdot (1-\dfrac{3}{1000})=-12 \; \text{euros}$$

Así pues, cuánto más números comprásemos de esa lotería más perderíamos, por lo que no es recomendable apostar en ella.

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ACLARACIÓN. Vamos a justificar que la probabilidad de sacar el premio comprando tres números es $\dfrac{3}{1000}$. Denotemos por $N_i$ al suceso el número i-ésimo ( de los diez que hemos comprado ) es el premiado, donde $i=1,2,\ldots,10$. Entonces, la probabilidad de obtener el premio ( recordemos que el premio corresponde a un sólo número de los mil que se sortean ) es igual a
$$P(\text{obtener el premio})=P\left(N_1 \cup (\bar{N_1} \cap N_2 ) \cup ((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)$$
Y como $N_1$, $\bar{N_1} \cap N_2$ y $(\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ) podemos escribir que
$P(\text{obtener el premio})=P(N_1)+P(\bar{N_1} \cap N_2 )+P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right) \quad (1)$

Y teniendo en cuenta que:

$P(N_1)=\dfrac{1}{1000}$

$P(\bar{N_1} \cap N_2 )=P(N_2 \cap \bar{N_1})=P(\bar{N_1})\cdot P(N_2|\bar{N_1})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{1}{999}=\dfrac{1}{1000}$

$P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)=P\left(N_3 \cap (\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \right)=P(\bar{N_1}\cap \bar{N_2})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=$
  $=P(\bar{N_2})\cdot P(\bar{N_2}|\bar{N_1})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{998}{999} \cdot \dfrac{1}{998}=\dfrac{1}{1000}$

Entonces, de (1), $P(\text{obtener el premio})=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}=\dfrac{3}{1000}$

$\square$